Бесконечность, что это?

07.06.2017 13:17 4630

Чем вечность отличается от бесконечности.

Вечность и бесконечность…Казалось бы, два похожих понятия, которые означают нечто незаканчивающееся, длящееся вечно, бесконечно, то есть всегда. Однако, какими бы похожими они не казались, эти два понятия — «вечность» и «бесконечность», имеют довольно много отличий. Каких, сейчас расскажем.

Вечность — понятие связанное со временем, то есть его употребляют по отношению к векам, годам, эпохам и другим большим и даже огромным промежуткам времени. Бесконечность же обычно обозначает отсутствие границ у какого-либо пространства или множества каких-нибудь сущностей.

Так например, можно сказать «вечно молодой» и «бесконечно далеко», но не наоборот. Другими словами, вечно молодой человек, это который остается молодым многие-многие годы. А бесконечно далеко, это когда кто-то или что-то находится на практически непреодолимом расстоянии, там, куда невозможно или очень трудно добраться.

Для человека оба этих понятия довольно абстрактны, поскольку мы не можем представить ни бесконечность ни вечность.Тем более, что человек не является бессмертным и может преодолевать хотя и очень большие, но все же ограниченные расстояния.

Но несмотря на это и вечность и бесконечность существуют, они реальны. А поскольку их невозможно увидеть или представить,то у них есть символы — знаки обозначающие эти понятия. Символом вечности является пирамида, как у египтян. А знак бесконечности выглядит как цифра 8, только повернутая по горизонтали.

Вечность состоит из бесконечного множества потоков времени, движущихся в разных направлениях, хотя для нашего восприятия доступен только один — однонаправленный поток из прошлого через настоящее в будущее. Так же и воспринимаемое нами пространство, ограничивается для нас тремя мерами измерения — высотой, шириной и длиной.

На самом же деле пространство имеет бесконечное множество измерений (и поэтому называется бесконечностью), хотя нам недоступно даже ближайшее к нашему – четырехмерное. В общем, нам есть что изучать и куда стремиться…

В словаре Даля

беспредельный, безграничный, безрубежный, неизмеримый, нескончаемый, вечный, по времени или пространству. Бесконечная ширь, глубь вселенной. Жизнь духовная бесконечна. | Чрезмерно великий, по размерам своим, необычайно большой или продолжительный. Бесконечная нитка, дорога. Это бесконечный труд. Бесконечная величина математ. несоизмеримая ни с какою величиной; не выражаемая никакою цифрою, числом. Сравнительно с бесконечно великою, всякая данная величина ничтожна, а бесконечно малая, перед всякою данною, сама ничтожна. Бесконечный винт механ. несколько винтов, оборотов на оси, которая этим беспрерывно вертит зубчатое колесо; — тесьма, ремень, полотно, надетое и растянутое на двух валах, сшитое наглухо концами, круглое. Бесконечный каток, переносные доски, настилка, полозья, под которые кладутся катки, медвёдки, для переката тяжестей. Бесконечность ж. состояние, свойство бесконечного. | В математ. положительная и отрицательная бесконечность, бесконечно великое и бесконечно малое число.

В словаре Ожегова

В словаре Ефремовой

Ударение: бесконе́чный прил.

  1. Не имеющий конца, предела в пространстве и времени (противоп.: конечный).
    1. Чрезвычайно длинный или длительный; нескончаемый.
    2. Не имеющий видимых пределов, границ; безграничный, бескрайний.
  2. перен. Достигший высшей степени проявления.

В словаре Д.Н. Ушакова

БЕСКОНЕ́ЧНЫЙ, бесконечная, бесконечное; бесконечен, бесконечна, бесконечно.
1. Не имеющий конца, пределов. Время бесконечно. Бесконечное мировое пространство.
2. Слишком длинный, непомерно долгий (·разг. ). Бесконечный разговор. Бесконечная улица.
3. Постоянный, не прекращающийся (·разг. ). Бесконечные жалобы.
• Бесконечная дробь (мат.) — дробь с неограниченным числом десятичных знаков. Бесконечный винт (мех.) — винт, нарезками сцепляющийся с зубчатым колесом для передачи вращения.

В словаре Синонимов

вечный, постоянный, беспредельный, беспрерывный, беспрестанный, безграничный, бессрочный, нескончаемый, неизменный, непрекращающийся, неуклонный, неистощимый, неисчерпаемый, нерасторжимый, неиссякающий, неувядающий, неумирающий, большой, долгий; затяжной, долговременный, безконечный, безмерный, необозримый, конца-краю нет, безбрежный, неоглядный, конца не видать, конца-краю не видно, затянувшийся, неиссякаемый, ни конца ни краю нет, продолжительный, неограниченный, длинный, бескрайний, конца нет, конца не видно, ни конца ни краю не видно, необъятный, длительный. Ant. конечный

В словаре Синонимов 2

прил1. безграничный, беспредельный, безмерныйвысшей степени проявления (о чувстве, состоянии)2. безграничный, беспредельный, бескрайний, безбрежныйне имеющий обозримых границ3. нескончаемый

В словаре Синонимы 4

безбрежный, безграничный, безконечный, безмерный, бескрайний, беспредельный, бессрочный, большой, длительный, долгий, затяжной, неиссякаемый, неиссякающий, неистощимый, неисчерпаемый, необозримый, необъятный, неоглядный, неограниченный, нескончаемый, постоянный

В словаре Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализня

бесконе́чный,
бесконе́чная,
бесконе́чное,
бесконе́чные,
бесконе́чного,
бесконе́чной,
бесконе́чного,
бесконе́чных,
бесконе́чному,
бесконе́чной,
бесконе́чному,
бесконе́чным,
бесконе́чный,
бесконе́чную,
бесконе́чное,
бесконе́чные,
бесконе́чного,
бесконе́чную,
бесконе́чное,
бесконе́чных,
бесконе́чным,
бесконе́чной,
бесконе́чною,
бесконе́чным,
бесконе́чными,
бесконе́чном,
бесконе́чной,
бесконе́чном,
бесконе́чных,
бесконе́чен,
бесконе́чна,
бесконе́чно,
бесконе́чны,
бесконе́чнее,
побесконе́чнее,
бесконе́чней,
побесконе́чней

Эта статья — продолжение . Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.
, где такие множества разрешены.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это

— символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это {{p}, {p, v}}. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между

и

? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между

и

есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

В дальнейшем мы, для простоты, примем гипотезу континуума, то есть

— это очень удобно. На самом деле мы примем и более сильную аксиому, обобщенную гипотезу континуума, что между x и powerset(x) никогда нет промежуточных мощностей. Теперь мы итерируем powerset и все просто:

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до

— бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому

не может быть последней!

Чтобы получить

надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до

, после чего, естественно, идет

Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс

. Как вам такая мощность, например:

? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

Сразу большой шаг

Внимание! То что написано дальше, может быть опасно для вашего мозга! Мы итерировали powerset счетное число раз, а не замахнуться ли нам на континуум? Честно, меня самого немного колбасит от того, что цикл может выполняться континуум раз, но теория множеств требует существования

Далее мы пойдем быстрее:

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая,

, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

  • Во первых, это не первая недостижимая мощность, которую мы знаем. Первая… это всем знакомая счетная мощность. Как ни странно, она обладает всеми свойствами недостижимой — просто ее не принято так называть:
  • Бесконечную мощность никак не получить «снизу» — ни добавляя элементы конечное количество раз, ни итерируя powerset() конечное число раз, используя конечные множества для затравки, бесконечности вы не получите. Чтобы получить бесконечность, вы где-то должны уже иметь ее.
  • Существование бесконечной мощности вводится специальной аксиомой — аксиомой бесконечности. Без нее существование бесконечной мощности недоказуемо.

Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

{}
{{}}
{{{}},{}}
{{{{}}}}
{{{{}}},{{}}}
{{{{}}},{{}}}
{{{{}}},{{}},{}}

И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

И да,

это «множество всех множеств» теории ZFC. в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

Еще дальше.

Разумеется, мы моем пойти дальше, итерируя

. Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

Иерархия больших мощностей.

Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но , не только через недостижимость:

За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно!!! Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:

Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы .

Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован .

Перевернутая восьмерка – как называется символ бесконечности правильно? Как называется знак бесконечности в математике? Где его используют еще и кто его придумал?

Так называемое обозначение бесконечности называется – лемниската. Именно так элемент называется в математике. Лемниската – алгебраическая кривая, где ее расстояние постоянно относительно определенных точек.

В жизни перевернутую восьмерку называют – инфинити. От латинского – absolutus infinitus – абсолютная бесконечность.

Что удивительно, многие ассоциируют и называют замкнутую кривую — змеем Уробороса, ползущего и кусающего свой хвост. Напомним, что змей Уроборос – древнейший символ, известный всему человечеству. Он ассоциирует цикличность всего жизненного процесса – рождение и смерть. Используется в магии, алхимии, мифологии, психологии, парапсихологии.

История знака бесконечности – лемниската в математике

Идея обозначения чего-то большого, необъятного и бесконечного – пришло в голову английскому математику Джону Валлису. Еще в середине 17 века, он решил доработать число 1000, написанное римскими цифрами. Выглядело это так — CIƆ, либо CƆ.

Сказать, что знак был выведен специально – невозможно. В одной из теорий, лемниската – дрогнувшая рука математика – случайное соединение кончиков при написании числа.

Лемниската в жизни – знак бесконечности

Инфинити или лемниската – выражает смысл потенциальной бесконечности. То есть чего-то, что имеет цикличный рост, геометрическую прогрессию (до бесконечности).

В жизни эту мысль многие переносят в психологию, в неосознанное – выражают свои эмоции, чувства. Видят в ней что-то глубокое, мистическое, необычное. К слову, еще в древние времена этот знак ассоциировался с чем-то мистическим.

В подтверждение тому – огромное количество татуировок со знаком лемнискаты, нанесение символики в картины, плакаты, постеры.

Также, в быту лемнискату или инфинити ассоциируют с балансом, гармонией двух половин. Нередко можно встретить в свадебной символике, в качестве иллюстраций на праздничных открытках, аксессуарах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *