Пифагорейцы

Биография

Современной науке неизвестна точная дата, когда родился Пифагор. По мнению историков, наиболее вероятным можно считать 580 год до нашей эры. Местом рождения стала Греция, остров Самос. Известны имена его родителей: отца звали Мнесархом, и он занимался обработкой золота, а мать – Партенией, или Пифиадой. Есть мнение, что у философа было еще два младших брата, которых звали Тиррен и Эвност, чья биография не была задокументирована.

Существует легенда, которая гласит, что родители будущего мыслителя во время свадебного путешествия отправились в Дельфах, где им повстречался местный оракул. Тот сообщил им, что вскоре у пары родится сын, которому предречено стать мудрецом. Пророчество быстро сбылось, и сына нарекли Пифагором в честь Пифии – жрицы бога Аполлона. Чтобы способствовать осуществлению пророчества, отец мальчика окружил его заботой и помог получить лучшее образование, а также создал алтарь богу Солнца.

С раннего детства, Пифагор заинтересовался наукой и проявлял уникальные способности. Обучал его музыке, живописи, риторике, чтению и письму – Гермодамант. Когда мальчику исполнилось 18 лет, его следующим наставником был Ферекид Сиросский, от которого будущий философ получил знания по медицине, физике, космологии и другим наукам.

Прожив несколько лет на Лесбосе, Пифагор отбыл в город Милет, чтобы брать уроки у Фалеса, который был основателем первой греческой школы, где преподавали философию. Затем, Пифагор продолжил образование в Египте, приобщаясь к тайнам жрецов и сам становясь одним из них.

Начало Персидской войны остановила путь развития и образования философа, потому что он был пленен и провел время плена в Вавилоне. Там он познакомился с персидскими магами, приобщившими его к мистическим ритуалам, астрономии и арифметике. В этот же период он изучает взгляд восточных народов на медицину и врачевание. Персы считали, что перечисленные науки имеют магическое происхождение, и это мнение перенял и Пифагор, основав на нем философские и математические теории.

Узнав про ученого пленника, спустя 12 лет после начала войны, персидский хан освободил Пифагора. Тогда мудрец вернулся в родной город, чтобы учить современников наукам. Он давал уроки на открытом воздухе, и присутствовать на них мог каждый желающий. Но ученики получали испытательный срок, который продолжался до пяти лет. Во время этого срока им запрещалось задавать вопросы во время занятий. Многие видные политики, историки, астрономы и ученые того времени были воспитанниками Пифагора. Современные математики до сих пор пользуются открытиями философа: теоремой Пифагора и таблицей умножения, которая изначально именовалась таблицей Пифагора.

В это же время, на шестом десятке лет, он встречает будущую супругу – Феану. Позже она родила ему сына и дочь. По некоторым источникам, жена Пифагора была дочерью его друга, мыслителя Бронтина.

Во время демократического восстания в Кротоне, где находилась школа Пифагора, философ уехал в город Метапонт. Как он погиб, неизвестно. По одной из версий, его убил тот, кому он отказал в проведении оккультического обряда. По другой версии, его убили во время стычек с мятежниками. Считается, что смерть настигла его в возрасте около 90 лет.

Пифагорейский союз

Известность Пифагор получил, проживая в Кротоне. В этот город он попал, желая сбежать от тирании правителя Поликарпа. Здесь он основал Пифагорейский союз, который стал не только философской школой, но и политической и религиозной организацией, которая стремилась влиять на нравственные взгляды современников мыслителя.

Умея привлекать к себе внимание за счет харизмы и незаурядных личных качеств, Пифагор быстро набрал учеников. Он был талантливым политическим оратором и проповедовал высокие нравственные идеи и жизненные принципы.

Будучи мистиком, Пифагор придумал специальные таинства для посвящения новых членов в пифагорейское братство. Пройдя жесткий отбор, новые последователи получали право слушать Пифагора издалека, не задавая никаких вопросов и видя его только через занавес. Их развитие осуществлялось через прослушивание очищающей музыки и аскетическую жизнь. Новички принимали обет молчания, чтобы получить возможность больше думать.

Пифагорейцы придерживались следующих жизненных принципов, которые Пифагор провозглашал как основу нравственности:

  • избегание хитростей;
  • отсечение невежества от души и болезней – от тела;
  • отказ от роскошества;
  • пресечение любых ссор.

Добиваться в жизни следовало только трех вещей:

  • прекрасного и славного;
  • полезного;
  • приносящего наслаждение, но наслаждение праведное, а не пошлое.

Пифагор требовал от последователей соблюдения общечеловеческих ценностей, поощряемых и в наши дни различными конфессиями. Был список дел, которые ученики философа должны были делать по утрам:

  • чтение стихов;
  • выполнение мнемонических упражнений;
  • встреча восхода солнца у моря;
  • купания и прогулки;
  • воздаяние почестей божествам.

В Пифагорейском союзе можно было выучиться психологии и медицине. Там были выработаны методики для развития ума, наблюдательности и памяти. Пифагор считал важным способствовать не только физическому, но и духовному развитию людей. Он выработал понятие «калокагатии», которое означает идеал гармоничного человека, в котором сочетаются прекрасное, или эстетическое, и этическое начала.

Философия Пифагора

Школа пифагорейцев, основанная мыслителем в 6-4 веке до нашей эры, стала главным его наследием. В ней заключены основные постулаты философии Пифагора. Главная идея его философии – в том, что вселенная является «великолепным порядком», или космосом. Весь мир, по мнению пифагорейцев, представляет собой, подчиняющееся закону гармонии и законам чисел, целым. Это целое – упорядоченное.

Сложность в изучении философии Пифагора заключается в том, что мыслитель не вел записи и проводил лекции устно. Большинство данных дошло до наших дней благодаря его последователям.

Пифагорейская философия базируется на двух столпах:

  • мистические учения и религия;
  • научные знания.

Учение также выделяет категорию двух противоположностей:

  • беспредельного;
  • предельного.

Первое не может быть единым началом всех вещей, иначе второе не могло бы существовать вовсе. Был составлен список, в который вошли все существующие на планете и в космосе противоположности:

  • беспредельное и предельное;
  • правое и левое;
  • спокойствие и движения;
  • светлый цвет и темный;
  • один и множество;
  • четные и нечетные цифры;
  • мужское и женское;
  • прямое и кривое;
  • квадратное – в форме вытянутого прямоугольника;
  • добро и зло.

На стыке перечисленных противоположностей, рождается мировая гармония. Закон, которому подчиняется мироздание, гласит, что измерить и осознать цельность единого со множеством можно только посредством чисел. Числа являют начало всем мерам. В числах сосредоточена звуковая гармония, подчиняющаяся математическим законам.

В философии Пифагора содержатся не только рассуждения о мудрости, но и перечисление жизненных принципов, которые должно иметь каждому человеку. Развивая эту философию, последователи мыслителя занимались математической наукой. Они признали, что все, что в мире существует, имеет математическое начало, выраженное цифрой. Проводится аналогия между нею и материальными вещами. Причем некоторые числа характеризовали качества ума или души человека, другие определяли справедливость.

Пифагор также считал, что его последователи должны вести правильный образ жизни. Нельзя было употреблять продукты животного происхождения, особенно такие внутренности, как сердце – ведь в нем заключена жизнь живого существа. В список запрещенной пищи попали и бобы, потому что легенда гласила, что они созданы при помощи крови Диониса-Загрея. Алкогольные напитки, невежественное поведение и бранные слова тоже были исключены. Так пифагорейцы очищали душу и тело. Описанные принципы не распространялись на тех учеников, которые ставили перед собой целью только изучить точные науки. Принципам следовал лишь круг избранных, «просвещенных» учеников.

Пифагорейское учение о числах

Нумерология является важной частью философии Пифагора и его последователей. Познание природы и смысла чисел мудрец связывал с познанием сути явлений и предметов. Каждая категория бытия получила числовое свойство, в том числе такие явления, как смерть, болезнь, переживание страданий и прочие.

Пифагор первый разделил все числа на четные и нечетные. Он считал, что квадрат любого числа символизирует мирские равенство и справедливость. Смерти он «отдал» число восемь, а девять – постоянству. Женский пол приравнивался им к четным числам, а мужской – к нечетным. Цифра пять принималась за символ брачных уз. С помощью магии чисел он учил определять совместимость влюбленных друг с другом, заглядывать в их будущее.

Зная истинное значение чисел, люди могут влиять на все общество и окружающую действительность. При этом в основе всего – геометрические представления о числах. Так, число «один» является точкой, если к ней добавить еще одну, то между ними можно провести прямую, в то время как три точки могут стать плоскостью. Диагонали правильного пятиугольника образуют пифагорейскую звезду, которая стала символом школы Пифагора.

Такая звезда является символом жизни, потому что очень распространена в живой природе – например, форму звездчатого пятиугольника имеют цветы незабудок и яблонь. Но такой пятиугольник никогда не встречается в явлениях неживой природы. Он защищает живое от окаменения и кристаллизации.

Не только математические построения, но и всю действительность пифагорейцы сводили к числам. Математической окраской, по их мнению, обладали любые политические, социальные, физические и религиозные явления. Можно сказать, что Пифагор философию свел к математике, потому что на ней базируется введенная им система мировоззрения. Все, что можно познать в мире, познается через числа. Соединение с божественным началом возможно только через математические догмы.

Пифагорейское учение о вселенной

Пифагор стал первым, кто ввел слово «космос» в употребление, чтобы обозначить мироздание. Последнему, по мнению философа, были свойственны упорядоченность и симметрия, из которых проистекала красота. Он учил последователей тому, что познать красоту Вселенной дано лишь тем, кто держит в порядке свой собственный макрокосмос, являясь гармоничным человеком и ведя правильную жизнь.

Как и многие другие ионийские мудрецы, пифагорейцы ставили перед собой задачу объяснить, как произошло и устроено мироздание. Поскольку математика была наукой, тщательно ими изучавшейся, они подошли к разгадке этого вопроса ближе, чем их современники.

По мнению Пифагора и его учеников, центр вселенной представляет собой огонь, или монаду, которая равна единице. Этот огонь является первым и важнейшим небесным телом. Благодаря ему, родились другие небесные тела, порядок между которыми поддерживает эта центральная огненная сила. Планеты, находясь в беспредельном пространстве, притягиваются к монаде и таким образом обретают пределы.

Пифагорейцы считали, что вокруг этого огня движутся десять небесных тел в направлении от запада к востоку. Те тела, что находятся ближе к огню, именуются планетами, а расположенные в отдалении – неподвижными звездами. Луна, Земля и Солнце по этой системе отдалены от центра дальше всего.

Ученики школы Пифагора знали, что Земля ежедневно совершает круг. Они считали, что, когда Солнце и Земля оказывались по одну сторону центрального огня, в нашем мире наступал день. Когда же Солнце и Земля были противоположны друг другу, миром правила ночь. В зависимости от пути Солнца на Земле начинаются те или иные времена года.

Пифагор учил, что не только Земля окружена воздухом, но и другие небесные тела. А это означало, что на них также есть флора и фауна.

Гармония сфер

Особняком стоит теория Пифагора о гармонии сфер. Под ней философ подразумевал музыкальное звучание, присущее небесным телам, и музыкально-математические закономерности в космическом устройстве.

Пифагор говорил, что все небесные тела закреплены за невидимыми сферами и вращаются так же, как они. У каждого небесного тела есть своя сфера, первые семь сфер соответствуют семи планетам, а восьмая – неподвижным звездам. При вращении сферы производят прекрасную гармоничную музыку, которая и получила название «гармония сфер».

Пифагорейцы считали, что человеческое ухо невосприимчиво к этой музыке, потому что слышит ее с рождения и слишком привыкло к ней.

Через гармонию сфер объяснялась числовая природа мира. Пифагор утверждал, что душа человека, как и космос, гармонична, поэтому умение слышать музыку небесных сфер может стать лечебным для духа. Последователи мыслителя – например, Платон – усложнили это учение. Благодаря им, теория пережила античный мир и вошла в средневековые и западноевропейские учения об эстетике музыки.

Многие поэты и даже астрологи до нового времени верили в гармонию сфер и посвящали ей свои труды.

Пифагорейское учение о переселении душ

Философия Пифагора говорит, что душа заключена в телесную оболочку за совершенные грехи. Но, пока не разлучится с ним, душа любит тело и способна получать мирские впечатления лишь благодаря ему.

При смерти она освобождается из этой тюрьмы и открывает жизнь бестелесную, отправившись в лучший мир.

Лучший мир доступен только душам, которые установили при телесной жизни в себе достоинство и гармонию. Если человек прожил нечистую и негармоничную жизнь, его душа вернется обратно на землю и будет странствовать по телам зверей и людей, пока не достигнет гармонии.

Подобно восточным теориям, пифагорейская считает, что земная жизнь дана душе, чтобы та очистилась и подготовилась для другой жизни. Чтобы это произошло, человек при жизни должен соблюдать заповеди и принципы, заключающиеся в рекомендациях касательно правильного питания и нравственной жизни. Существовали также правила по захоронению умерших и те, которые регламентировали вид одежды для молитв.

Очищенная душа попадала в царство Аполлона, куда не было дороги негармоничному, нечистому и беспорядочному. Сокращению странствий души можно было способствовать путем проведения таинственных обрядов после смерти человека.

Сам Пифагор утверждал, что может узнать душу умершего в новом теле, если он знал его при жизни.

Философия Пифагора неоднозначна и полна мистики, но многие его открытия до сих пор остаются актуальными и признаются современными учеными верными.

ПИФАГОРЕЙЦЫ

Смотреть что такое «ПИФАГОРЕЙЦЫ» в других словарях:

  • ПИФАГОРЕЙЦЫ — Ученики и приверженцы Пифагора. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней. Михельсон А.Д., 1865. ПИФАГОРЕЙЦЫ последователи учения греческого философа Пифагора, основавшего школу в Кротоне, в … Словарь иностранных слов русского языка

  • Пифагорейцы — Пифагореизм религиозно философское учение в Древней Греции VI IV вв. до н. э. Содержание 1 История пифагорейского союза 2 Пифагорейский союз как религиозная община … Википедия

  • Пифагорейцы — последователи древнегреческого философа Пифагора (ок. 580 ок. 500 гг. до н.э.). Пифагорейская школа, получившая особое влияние в 4 в. до н.э., внесла ценный вклад в развитие математики и астрономии. Пифагорейцы учили, что количественные отношения … Словарь-справочник по философии для студентов лечебного, педиатрического и стоматологического факультетов

  • пифагорейцы — пифагор ейцы, ев, ед. ч. еец, ейца, твор. п. ейцем … Русский орфографический словарь

  • Пифагорейцы — пифагорейская школа, религ. этич. и философское братство, похожее на секту, основан. Пифагором. Как политич. партия союз распростр. свое влияние на греч. полисы Юж. Италии и частично Сицилии и проводил антидемократич., аристократич.… … Древний мир. Энциклопедический словарь

  • Пифагорейцы — пифагорейская школа, религиозно этич. и философское братство, похожее на секту, основанное Пифагором. Как политич. партия союз распространил свое влияние на греч. полисы Юж. Италии и частично Сицилии и проводил антидемо кратич.,… … Словарь античности

  • Пифагорейцы — (Pythagoreans), последователи др.греч. философа и математика Пифагора (ок. 570 495 гг. до н.э.), члены тайного союза, обосновавшегося на Ю. Италии. Пифагор в кач ве основы всего сущего рассматривал число (все вещи суть числа), считал внеш. облик… … Народы и культуры

  • Пифагор и пифагорейцы — Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней

  • Пифагор и пифагорейцы — П., сын Мнезарха, уроженец Самоса, процветал при тиране Поликрате (533 2 или 529 8 г.; Busolt, Gr. Gesch. , II, 233, 1) и основал общество в Кротоне, италийском городе, находившемся в тесных сношениях с Самосом. По словам Гераклита, он был ученее … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ПИФАГОРЕИЗМ — совокупность др. греч. филос. и научных концепций, восходящих к Пифагору (6 в. до н.э.) и основанному им замкнутому элитарному духовному обществу в «Великой Греции» (греч. города гос ва на юге Аппенинского полуострова и на востоке Сицилии). Почти … Философская энциклопедия

Пифагореизм

Пифагореизм — религиозно-философское учение основано в Древней Греции VI—IV вв. до н. э

Основателем союза был Пифагор, сын Мнесарха, уроженец Самоса. Его расцвет приходится на время правления тирана Поликрата (ок. 530 г. до н. э.). Пифагор основал сообщество в италийском городе Кротоне. Умер он в Метапонте, куда переселился вследствие враждебного отношения кротонцев к его союзу.

После смерти Пифагора вражда против пифагорейского союза усиливалась во всех демократиях Великой Греции и в середине V в. д. н. э. разразилась катастрофой: в Кротоне многие пифагорейцы были убиты и сожжены в доме, где они собрались; разгром повторился и в других местах. Уцелевшие были вынуждены бежать, разнося с собой учение и мистерии своего союза. Эти мистерии дали союзу возможность существовать и тогда, когда он утратил своё прежнее политическое и философское значение. К концу V в. д. н. э. наблюдается возрождение политического влияния пифагорейцев в Великой Греции: Архит Тарентский достигает большого политического значения в Таренте как военачальник и государственный деятель. С IV в. д. н. э.пифагорейство приходит в упадок, а его учение поглощается платонизмом.

Сам Пифагор, по преданию, не оставил письменного изложения своего учения, и Филолай считается первым писателем, давшим изложение пифагорейской доктрины. Учение ранних пифагорейцев известно нам по свидетельствам Платона и Аристотеля, а также по немногим фрагментам Филолая, которые признаются подлинными. При таких условиях трудно с достоверностью отделить первоначальное существо пифагорейского учения от позднейших наслоений.

Есть основание видеть в Пифагоре учредителя мистического союза, научившего своих последователей новым очистительным обрядам. Обряды эти были связаны с учением о переселении душ, которое можно приписывать Пифагору на основании свидетельств Геродота и Ксенофана; оно встречается также у Парменида, Эмпедокла и Пиндара, находившихся под влиянием пифагорейства.

Дало ли пифагорейство освобождение от этого «круговорота рождения» хотя бы душе философа? Золотые таблички IV в., найденные в могилах близ Турий — местности, служившей некогда пристанищем для пифагорейцев — свидетельствуют о возможности такого освобождения.

Ряд причудливых предписаний и запретов пифагорейцев восходят, несомненно, к глубокой древности. Из этих запретов более всего стал известен запрет употреблять в пищу бобы, из-за которых, по одному из преданий, погиб и сам Пифагор. Причина этого запрета была неизвестна уже в древности.

Пифагорейцы были известны в античности также своим вегетарианством, связанным с учением о переселении душ.

Согласно традиции, последователи Пифагора делились на акусматиков («слушателей») и математиков («учеников»). Акусматики имели дело с религиозными и ритуальными сторонами учения, математики — с исследованиями четырёх пифагорейских «матем»: арифметики, геометрии, гармоники и сферики. Акусматики не считали математиков «настоящими пифагорейцами», но говорили, что они ведут своё начало от Гиппаса, изменившего исходной пифагорейской традиции, раскрывшего тайны непосвящённым и начавшим преподавание за плату.

Пифагор был первым мыслителем, который по преданию назвал себя философом, то есть «любителем мудрости». Он же впервые назвал вселенную космосом, то есть «прекрасным порядком». Предметом его учения был мир как стройное целое, подчиненное законам гармонии и числа.

Основу последующего философского учения пифагорейцев составила категориальная пара двух противоположностей — предела и беспредельного. «Беспредельное» не может быть единым началом вещей; иначе ничто определённое, никакой «предел» не был бы мыслим. С другой стороны, и «предел» предполагает нечто такое, что определяется им. Отсюда следует вывод Филолая, что «природа, сущая в космосе, гармонически слажена из беспредельных и определяющих; так устроен и весь космос, и все, что в нём».

Пифагорейцами была составлена таблица 10 противоположностей; Аристотель приводит её в своей «Метафизике» (I, 5):

предел — беспредельное

нечётное — чётное

одно — многое

правое — левое

мужское — женское

покой — движение

прямое — кривое

свет — тьма

добро — зло

квадрат — вытянутый прямоугольник

Мировая гармония, в которой заключается закон мироздания, есть единство во множестве и множество в единстве — έν καί πολλά. Как мыслить эту истину? Непосредственным ответом на это является число: в нём объединяется множество, оно есть начало всякой меры. Опыты над монохордом показывают, что число есть принцип звуковой гармонии, которая определяется математическими законами. Не есть ли звуковая гармония частный случай всеобщей гармонии, как бы её музыкальное выражение? Астрономические наблюдения показывают нам, что небесные явления, с которыми связаны все главнейшие изменения земной жизни, наступают с математической правильностью, повторяясь в точно определённые циклы.

Так называемые пифагорейцы, взявшись за математические науки, первые подвинули их вперёд; вскормленные на этих науках, они признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа. В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами… так что одно свойство чисел являлось им как справедливость, другое — как душа или разум, ещё другое — как благоприятный случай и т. д. Далее они наводили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же — первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число (Аристотель, Met., I, 5).

Таким образом, пифагорейские числа имеют не простое количественное значение: если для нас число есть определённая сумма единиц, то для пифагорейцев оно есть, скорее, та сила, которая суммирует данные единицы в определённое целое и сообщает ему определённые свойства. Единица есть причина единения, два — причина раздвоения, разделения, четыре — корень и источник всего числа (1 + 2 + 3 + 4 = 10). В основании учения о числе усматривалась, по-видимому, коренная противоположность чётного и нечётного: чётные числа суть кратные двух, и потому «чёт» есть начало делимости, раздвоения, разлада; «нечёт» знаменует противоположные свойства. Отсюда понятно, что числа могут обладать и нравственными силами: 4 и 7, например, как средние пропорциональные между 1 и 10, являются числами, или началами, пропорциональности, а следовательно, и гармонии, здоровья, разумности.

В космологии пифагорейцев мы встречаемся с теми же двумя основными началами предела и беспредельности. Мир есть ограниченная сфера, носящаяся в беспредельности. «Первоначальное единство, возникнув неведомо из чего, — говорит Аристотель, — втягивает в себя ближайшие части беспредельности, ограничивая их силой предела. Вдыхая в себя части беспредельного, единое образует в себе самом определённое пустое место или определённые промежутки, раздробляющие первоначальное единство на отдельные части — протяженные единицы (ὡς όντος χωρισμοϋ τινος τών ἐφεξής)». Это воззрение — несомненно первоначальное, так как уже Парменид и Зенон полемизируют против него. Вдыхая беспредельную пустоту, центральное единство рождает из себя ряд небесных сфер и приводит их в движение. По Филолаю, «мир един и начал образовываться от центра».

В центре мира находится огонь, отделяемый рядом пустых интервалов и промежуточных сфер от крайней сферы, объёмлющей вселенную и состоящей из того же огня. Центральный огонь, очаг вселенной, есть Гестия, мать богов, мать вселенной и связь мира; верхняя часть мира между звездной твердью и периферическим огнём называется Олимпом; под ним идёт космос планет, солнца и луны. Вокруг центра «ведут хороводы 10 божественных тел: небо неподвижных звёзд, пять планет, за ними Солнце, под Солнцем — Луна, под Луной — Земля, а под нею — противоземие (ἀντίχθων)» — особая десятая планета, которую пифагорейцы принимали для круглого счёта, а может быть, и для объяснения солнечных затмений. Медленнее всех вращается сфера неподвижных звезд; более быстро и с постоянно возрастающей по мере приближения к центру скоростью — сферы Сатурна, Юпитера, Марса, Венеры и Меркурия.

Планеты вращаются вокруг центрального огня, обращенные к нему всегда одной и той же стороной, отчего жители земли, напр., не видят центрального огня. Наше полушарие воспринимает свет и теплоту центрального огня через посредство солнечного диска, который лишь отражает его лучи, не будучи самостоятельным источником тепла и света.

Своеобразно пифагорейское учение о гармонии сфер: прозрачные сферы, к которым прикреплены планеты, разделяются между собой промежутками, которые относятся друг к другу как музыкальные интервалы; небесные тела звучат в своём движении, и если мы не различаем их созвучия, то только потому, что оно слышится непрестанно.

Пифагорейцы рассматривали свойства чисел, между которыми главнейшими были чётные, нечётные, чётно-нечётные, квадратные и неквадратные, изучали арифметические прогрессии и новые числовые ряды, происходящие от последовательных суммирований их членов. Так, последовательное прибавление числа 2 к нему самому или к единице и к получаемым затем результатам, давало в первом случае ряд чётных чисел, а во втором — ряд нечётных. Последовательные суммирования членов первого ряда, состоящие в прибавлении каждого из них к сумме всех предшествовавших ему членов, давали ряд гетеромекных чисел, представляющих произведение двух множителей, отличающихся один от другого на единицу. Такие же суммирования членов второго ряда давали ряд квадратов последовательных натуральных чисел.

Из геометрических работ пифагорейцев на первом месте стоит знаменитая теорема Пифагора. Доказательство теоремы должно было явиться результатом потребовавших значительного промежутка времени работ как самого Пифагора, так и других математиков его школы. Член ряда нечётных чисел, всегда являющийся разностью между двумя соответствующими членами ряда квадратных чисел, мог быть сам числом квадратным: 9 = 25 — 16, 25 = 169—144, … Содержание пифагоровой теоремы было, таким образом, впервые обнаружено рациональными прямоугольными треугольниками с катетом, выражаемым нечётным числом. Вместе с тем должен был раскрыться и Пифагоров способ образования этих треугольников, или их формула (n — нечетное число, выражающее меньший катет; (n² — 1)/2 — больший катет; (n² — 1)/2 + 1 — гипотенуза).

Вопрос о подобном свойстве также и других прямоугольных треугольников требовал соизмерения их сторон. При этом пифагорейцам впервые пришлось встретиться с несоизмеримыми линиями. До нас не дошло никаких указаний ни на первоначальное общее доказательство, ни на путь, которым оно было найдено. По свидетельству Прокла, это первоначальное доказательство было труднее находящегося в «Началах» Евклида и также основывалось на сравнении площадей.

Пифагорейцы занимались задачами «приложения» (παραβάλλειν) площадей, то есть построения на данном отрезке прямоугольника (в общем случае — параллелограмма с данным углом при вершине), имеющего данную площадь. Ближайшее развитие этого вопроса состояло в построении на данном отрезке прямой прямоугольника, имеющего данную площадь, под условием, чтобы оставался (ἔλλειψις) или недоставал (ὑπερβολή) квадрат.

Пифагорейцы дали общее доказательство теоремы о равенстве внутренних углов треугольников двум прямым; они были знакомы со свойствами и построением правильных 3-, 4-, 5- и 6-угольников.

В стереометрии предметом занятий пифагорейцев были правильные многогранники. Собственные исследования пифагорейцев прибавили к ним додекаэдр. Занятие способами образования телесных углов многогранников должно было непосредственно привести пифагорейцев к теореме о том, что «плоскость около одной точки наполняется без остатка шестью равносторонними треугольниками, четырьмя квадратами или тремя правильными шестиугольниками, так что становится возможным всякую целую плоскость разложить на фигуры каждого из этих трёх родов».

Рафаэль Санти. Пифагор (деталь Афинской школы). На чёрной доске изображена схема пифагорейской гармонии — системы, в которой октава двояким образом составляется из квинты и кварты.

Все дошедшие до нашего времени сведения о возникновении в древней Греции математического учения о гармонии (эта наука называлась «гармоникой») определённо связывают это возникновение с именем Пифагора. Его достижения в этой области кратко перечислены в следующем отрывке из Ксенократа, дошедшем до нас через Порфирия:

Пифагор, как говорит Ксенократ, открыл и то, что в музыке интервалы неотрывны от числа, так как они возникают от соотнесения количества с количеством. Он исследовал, в результате чего возникают созвучные и разнозвучные интервалы и всё гармоничное и негармоничное.

В области гармоники Пифагором были произведены важные акустические исследования, приведших к открытию закона, согласно которому первые (то есть самые главные, самые значимые) консонансы определяются простейшими числовыми отношениями 2/1, 3/2, 4/3. Так, половина струны звучит в октаву, 2/3 — в квинту, 3/4 — в кварту с целой струной. «Самая совершенная гармония» задаётся четвёркой простых чисел 6, 8, 9, 12, где крайние числа образуют между собой октаву, числа, взятые через одно — две квинты, а края с соседями — две кварты.

Гармония есть система трёх созвучий — кварты, квинты и октавы. Численные пропорции этих трёх созвучий находятся в пределах указанных выше четырёх чисел, то есть в пределах единицы, двух, трёх и четырёх. А именно, созвучие кварты является в виде сверхтретного отношения, квинты — полуторного и октавы — двойного. Отсюда число четыре, будучи сверхтретным от трёх, поскольку составляется из трёх и его третьей доли, обнимает созвучие кварты. Число три, будучи полуторным от двух, поскольку содержит два и его половину, выражает созвучие квинты. Число же четыре, будучи двойным в отношении двух, и число два, будучи двойным в отношении единицы, определяют созвучие октавы»(Секст Эмпирик, Против логиков, I, 94-97).

Продолжателями акустических исследований, а также представителями возникшего в пифагорейской школе стремления к теоретическому обоснованию музыкальной гармонии были Лас из Гермиона и Гиппас из Метапонта, произведшие много опытов как над струнами, имевшими различные длины и натягиваемыми различными тяжестями, так и над сосудами, по-разному наполняемыми водой.

Пифагорейская концепция гармоники нашла своё воплощение в идее пифагорова (или пифагорейского) строя, настраиваемого лишь по консонансам — октавам и квинтам. Среди прочего пифагорейцы открыли, что (1) целый тон неделим на 2 равных полутона, а также что (2) 6 целых тонов больше октавы на ничтожно малую величину коммы (позже названной «пифагоровой»).

Выдающимися музыкальными теоретиками пифагорейской школы были Филолай и Архит, которые разрабатывали математические основания древнегреческой (музыкальной) гармонии.

Элеаты

Элеа́ты — древнегреческие философы, представители Элейской школы (конец VI — первая половина V вв. до н.э.).Содержание

Принадлежность к Элейской школе приписывают таким философам, как Парменид, Зенон Элейский и Мелисс. Иногда к ней относят также Ксенофана, учитывая некоторые свидетельства о том, что он был учителем Парменида. В отличие от большинства досократиков, элейцы не занимались вопросами естествознания, но разрабатывали теоретическое учение о бытии (впервые сам термин предложен был именно в Элейской школе), заложив фундамент классической греческой онтологии.

Для Элейской школы был характерен строгий монизм в учении о бытии и рационализм в учении о познании. В центре учения всех трёх элейских философов находилось учение о бытии: Парменид впервые сделал понятие «бытия» предметом анализа в своей философской поэме «О природе». Зенон с помощью логических апорий показал абсурдность учений, исходящих из иных предпосылок, кроме как использованных Парменидом (т.е. из допущения движения и множества). Мелисс суммировал школьную догматику в трактате «О природе», или «О бытии». Согласно Пармениду, «то что есть» (бытие) — есть, и это следует из самого понятия «быть», а «того, чего нет» (небытия) — нет, что также следует из содержания самого понятия. Отсюда выводится единство и неподвижность бытия, которому невозможно делиться на части и некуда двигаться, а из этого выводится описание мыслимого бытия как нерасчлененного на части и не стареющего во времени континуума, данного лишь мысли, но не чувствам. Пустота отождествляется с небытием, – так что пустоты нет. Предметом мышления может быть только нечто (бытие), небытие не мыслимо (тезис «мыслить и быть одно и то же»). Истина о бытии познается разумом, чувства формируют лишь мнение, неадекватно отражающее истину. Мнение, «докса», фиксируется в языке и представляет мир противоречивым, существующим в борьбе физических противоположностей, а на самом деле ни множества, ни противоположностей нет. За условными именами стоит безусловное единство («глыба») бытия.

Интерес представителей Элейской школы к проблематике бытия был развит в классической греческой мысли у Платона и Аристотеля.

Элеатская школа — была основана в городе Элее, в Великой Греции, Ксенофаном, жившим в конце VI и начале V в. до н.э. Город Элеа основан фокейскими (в Малой Азии) выходцами, бежавшими от персидского господства, и долго процветал благодаря мудрым законам, данным ему Парменидом, учеником Ксенофана. Известен рассказ о том, как Зенон, ученик Парменида, будучи обвинен в стремлении к ниспровержению государственного порядка, установленного Неархом (тираном, захватившим власть), откусил себе язык, дабы не назвать под влиянием пыток своих сообщников.

Во время римского господства Элеа превратилась в Велию (Velia), в ней жил юрист Требатий Теста, друг Цицерона; сюда бежал Цицерон после убиения Цезаря; здесь Брут навещал Цицерона; Цицерон написал в Велии свою топику, посвящённую Требатию. В Велию врач Антоний Муза посылал страдавшего глазами Горация, ибо в древности она славилась своим здоровым климатом.

Письмо к своему другу Вала Гораций начинает словами: Quae sit hiems Veliae, quod coelum, Vala, Salerni. Дальнейшая история Велии мало известна; в XIII в. здесь была крепость, в которой засел гр. Галвано Ланчиа, брат красавицы Бианки, жены Фридриха II Гогенштауфена, дядя Манфреда, погибший вместе с ним на эшафоте в 1268 г. Впоследствии сарацины, имевшие в Агрополе сильно укреплённое пристанище, по всей вероятности, разрушили некогда цветущий город Велию, от которого остались лишь незначительные руины; ныне на месте древней Элеи стоит Castel-a-Mare della Brucca.

Город Элея никогда не приобрёл бы славы, если бы в нём не расцвела философская школа, имевшая таких представителей, как Ксенофан, Парменид, Зенон и Мелисс. Ксенофан в поэтической форме боролся с антропоморфизмом и политеизмом греков, стараясь провести идею единства всего существующего и тождество единого с Божеством.

В более строгой форме, с громадной диалектической силою, ту же идею проводил Парменид. О впечатлении, которое произвело его учение, даёт понятие диалог Платона, посвящённый Пармениду. Идеи Ксенофана были облечены в теологическую форму; Парменид придал им характер метафизического учения, прототипа пантеистической системы.

Зенон, любимый ученик Парменида, обосновывал отрицательным путём учение Ксенофана и Парменида о единстве бытия. В том же направлении действовал и Мелисс. Наиболее запутанным и потому наименее выясненным представляется учение Ксенофана, предполагаемого ученика Анаксимандра.

О жизни Ксенофана известно весьма мало. Он происходит из Колофона, ионийской колонии в Малой Азии, завоеванной лидийцами, и был странствующим поэтом-рапсодом. Почему и когда он покинул родной город — неизвестно. Сначала он переселился в Сицилию, потом в Великую Грецию, именно в Элею. Жил Ксенофан очень долго и, по всей вероятности, сложил множество стихов; из них лишь немногие отрывки дошли до нас в сочинениях разных писателей, по преимуществу доксографов. Учение Ксенофана касается, главным образом, теологии и физики; воссоздать его чрезвычайно трудно, ибо в обеих своих частях оно представляется противоречивым и недостаточно полным; наконец, нелегко отделить Ксенофана-поэта от Ксенофана-философа. Казалось твердо установленным положение, что Ксенофан — монотеист, причём монотеизм его приближается к пантеистическим воззрениям.

Однако, Фрейдендаль в книге «Die Theologie des Xenophanes» обратил внимание на то, что Ксенофан говорит о «величайшем Боге среди других»; таким образом, он в действительности не отказался от политеизма. Это своё воззрение на Ксенофана Фрейдендаль защищал, не без некоторого успеха, против Целлера и Дильса в «Archiv für Geschichte der Philosophie» (том I, стр. 332 и сл.). Однако вероятнее мнение, относящее политеистические выражения на счёт Ксенофана-поэта, который, несмотря на свою критику антропоморфизма, приписывает Богу ощущение и мышление. Гораздо труднее решить вопрос о том, какого мнения держался Ксенофан относительно природы: одни источники утверждают, что Ксенофан учил о бесконечности вселенной и поэтому отрицал вращательное её движение; другие говорят, что Ксенофан считал вселенную ограниченной в пространстве. Физические учения Ксенофана не оказали влияния на дальнейший ход развития науки, ибо слишком мало согласовались с опытом; так, например, Ксенофан утверждал, что видимые нами светила не одни и те же, а каждый день прежние светила сменяются новыми. Трудность понимания Ксенофана зависит от того, что главный источник для его философии — псевдоаристотелевский трактат «De Melisso, Xenophane el Gorgia» — сообщает, очевидно, неточные о нём сведения. О Пармениде и Зеноне смотри соответствующие статьи.

Мелисс Самосский, почитатель Парменида, отказался от одного из основных его положений — ограниченности пространственного бытия. В этом отступлении от принципов школы Целлер и другие видят упадок и разложение элеатизма. Таннери, напротив, старается представить Мелисса как создателя трансцендентального монизма, родоначальника философского идеализма, учившего, что мир явлений есть иллюзия наших чувств и отрицавшего протяженность бытия. Вряд ли, однако, дошедшие до нас фрагменты дают право на такое толкование. — Значение Элейской школы в греческой философии и в истории философии вообще чрезвычайно велико. Элеаты явились сознательными защитниками единства всего существующего; они же открыли глубокие противоречия, коренящиеся в обычном, основанном на восприятии представлении о вселенной. Антиномии пространства, времени и движения как определений действительно сущего были раскрыты элеатами с большим диалектическим талантом. Наконец, элеаты первые вполне отчётливо различили действительно существующее, постигаемое мыслью, от явления, с которым человек знакомится благодаря чувствам. Нельзя утверждать, что элеаты справились с задачей, поставленной ими, правильно представили отношение единства к множественности или нашли выход из антиномии ограниченности и бесконечности бытия; решение этих вопросов не может быть выведено из начал элеатской философии. Вполне естественно поэтому, что элеатская школа постепенно переходит в эристику, софистику и сливается с другими направлениями. Главнейший недостаток Элейской школы заключался в том, что, будучи по направлению чисто метафизической, она в то же время желала быть и учением натурфилософским и смешивала понятия двух порядков. Тем не менее, влияние элеатов велико; их понимание истинно сущего отразилось на Эмпедокле, Анаксогоре и Демокрите; они имели влияние и на Сократовскую диалектику, и на Платоновское учение об идеях, и на метафизику Аристотеля. Наконец, всякий пантеизм поневоле возвращается к представлениям элеатов: так, например, нельзя не видеть связи между системой Спинозы и мировоззрением элеатов.

3.1.4 Софи́сты

Софи́сты (от др.-греч. σοφιστής — «умелец, изобретатель, мудрец, знаток») — древнегреческие платные преподаватели красноречия, представители одноименного философского направления, распространенного в Греции во 2-ой половине V — 1-й половине IV веков до н. э. В широком смысле термин «софист» означал искусного или мудрого человека. Софистами иногда называют представителей древнекитайской школы имён (мин цзя) (Дэн Си, Хуэй Ши, Гунсунь Луна и др.).

В широком смысле принято говорить о трех эпохах софистики:

Классическая или древняя софистика (V — 1-я половина IV веков до н. э.).

Вторая или новая софистика (2 — нач. 3 в. н. э.). Основные представители — Лукиан Самосатский, Флавий Филострат и другие.

Третья или поздняя софистика (4 в. н. э.). Основные представители — Либаний, Юлиан Отступник.

Вторая и третья софистики назывались лишь по аналогии с классической софистикой и представляли собой подражательные литературные течения, стремившиеся реставрировать идеи и стиль классических софистов.

К наиболее известным старшим софистам (их акме приходилось на 2-ю половину 5 в. до н. э.) относятся Протагор Абдерский, Горгий из Леонтин, Гиппий из Элиды, Продик Кеосский, Антифонт, Критий Афинский.

К наиболее известным младшим софистам (их акме приходилось на 1-ю половину 4 в. до н. э.) относятся Ликофрон, Алкидамант, Фрасимах.

От большинства софистов не сохранилось полных сочинений, а только фрагменты или свидетельства. В более-менее полном виде сохранились лишь следующие тексты:

Горгий. Сохранились две речи: «Похвала Елене» и «Защита Паламеда». В настоящее время считают эти речи подложными.

Антифонт. Сохранилось несколько речей (так называемая «тетралогия») и фрагмент сочинения «Истина».

Критий. Через Секста Эмпирика до нас дошёл фрагмент текста «Сизиф». По мнению большинства современных исследователей, этот текст не принадлежит Критию.

Основными древними источниками о софистах являются Платон, Аристотель, Диоген Лаэртский, Флавий Филострат и другие.

Все фрагменты и свидетельства о софистах собраны в труде Дильса — Кранца. На русский язык переведены единственный раз Маковельским. Перевод осуществлялся зачастую с немецкого языка, в настоящий момент считается устаревшим и подвергается критике.

В целом с философской точки зрения направление было весьма эклектичным, не объединённым едиными социально-политическими, культурными и мировоззренческими основами.

Широкую известность получила критика софистов у Сократа и сократиков, а также Платона.

К IV в. начался упадок софизма. Постепенно из учений софистов уходили философские концепции и оставались только элементарные основы риторики, позволявшие оперировать словами и понятиями для абстрактного доказательства или опровержения чего-либо.

Учение большинства софистов вступало в противоречие с религиозными представлениями. Большая часть софистов придерживалась атеистических или агностических взглядов.

Протагор был агностиком и приобрел славу безбожника. В своем сочинении «О богах» он писал: «О богах я не могу знать ни того, что они существуют, ни того, что их нет. Ибо многое препятствует узнать (это): и неясность (вопроса) и краткость человеческой жизни».

Некоторые софисты (Диагор Мелосский и Феодор Киренский, получивший даже прозвище «безбожник») прямо отрицали существование богов. За голову Диагора была назначена награда — он разгласил таинство элевсинских мистерий.

Продик Кеосский видел истоки религии в почитании вина, хлеба, рек, солнца и т. п. — то есть всего полезного людям. В «Сизифе» Критий пишет, что религия — человеческая выдумка, служащая для того чтобы умные люди заставили глупых выполнять законы.

Презентация по математике на тему «Наука и мистика чисел в школе Пифагора» (с текстовым сопровождением и видеофрагментом)

Введение……………………………………………………………………………3

Школа Пифагора…………………………………………………………………..5

Образ жизни пифагорейцев………………………………………………………9

Крушение союза…………………………………………………………………10

Арифметика пифагорейцев………………………………………………………10

Геометрическое представление чисел………………………………………….14

Теория отношений целых чисел………………………………………………..19

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата……………………………..20

Золотое сечение………………………………………………………………….22

Афоризмы Пифагора…………………………………………………………….24

Список использованной литературы……………………………………………25

Наука и мистика чисел в школе Пифагора, геометрические исследования в школе Пифагора.

Пифагор Самосский (около 570 – около 500 до н. э.) – древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель философско-религиозного учения, получившего название пифагореизма.

Сведения о жизни и учении Пифагора довольно скудны и малодостоверны; их трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора как полубога, совершенного мудреца, наследника всей античной и ближневосточной науки, чудотворца и мага. Сам Пифагор не оставил никаких трудов, и все сведения о нём и его учении основываются на устных свидетельствах учеников и последователей.

Пифагор покинул родной остров Самос в 18-летнем возрасте; как считается, в знак протеста против тирании Поликрата. Он посетил в своих путешествиях Египет и Вавилон (позднейшие авторы предполагали, что Пифагор был посвящен в различные тайные доктрины восточных жрецов). В зрелом возрасте (по преданию, на 40-м году жизни) Пифагор поселился в южноиталийском городе Кротоне, где основал закрытое сообщество своих последователей.

Ученики Пифагора образовали братство посвящённых, своего рода религиозный орден, состоящий из отобранных единомышленников, почитавших своего учителя и основателя как высшее существо. Этот орден на какое-то время фактически пришёл в Кротоне к власти, однако в результате антипифагорейских мятежей в конце VI в. до н.э. орден был разгромлен, а Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер.

В религиозно-философской доктрине Пифагора ставилась цель освобождения души путём нравственного и физического очищения. По Пифагору, вечная душа переселяется с небес в тело человека или животного и претерпевает ряд переселений, пока не заслужит права вернуться обратно на небеса. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа; достижение этой цели, по его мнению, возможно лишь там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей.

В своей натурфилософии Пифагор рассматривал мир как закономерное стройное целое, подчиненное законам «гармонии и числа». По-видимому, он был знаком с учениями Анаксимандра и Анаксимена и, подобно последнему, представлял себе мир носящимся в беспредельном воздушном пространстве. Но в противоположность монизму милетской школы Пифагор исходил из предположения о двойственности начал. Гармония, по его мнению, осуществляется в противоположностях, из которых основные – «предел» и «беспредельное». Некоторые из его последователей составили таблицу 10 пар противоположностей, под которые подводилось всё сущее (эту таблицу приводит Аристотель в своей «Метафизике»):
предел – беспредельное
нечёт – чёт
единство – множество
правое – левое
мужское – женское
подающееся – движущееся
прямое – кривое
свет – мрак
добро – зло
квадрат – продолговатый четырёхугольник

Первый ряд имел у пифагорейцев положительное, активное значение, второй – отрицательное, пассивное.

Важнейшей заслугой пифагорейцев стало выдвижение идеи о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. По мнению Пифагора, в основе всех вещей лежит число, и познать мир – значит познать управляющие им числа. Главной целью изучения чисел и пропорций было для пифагорейцев познание и описание человеческой души. Они считали, что, познав её, они смогут управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние.

Самым известным в наше время достижением Пифагора является, безусловно, носящая его имя теорема, устанавливающая связь между сторонами прямоугольного треугольника. «Теорема Пифагора» была, по-видимому, известна и до Пифагора, но ему приписывается её доказательство в общем виде.

В области математики Пифагору приписывается также систематическое введение доказательств в геометрию, построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников. С именем Пифагора связывают также учение о чётных и нечётных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

Школа Пифагора

Пифагорейский союз, был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание.

Основанный Пифагором в италийском городе Кротоне мистико-философский союз, называемый Пифагорийской школой, был копией арийских школ Индии и Тибета, и нес на себе отпечаток египетских посвящений Тота.Набор учеников школы Пифагор проводил крайне дотошно. Одной из внешних сторон приемных экзаменов было воздержание испытуемого в пище, задержка дыхания под водою, преодоление бегом восьмидесятикилометровой дистанции.

Но все же основными критериями приема в школу были не внешние физические данные, а глубинные черты характера испытуемого, главные из которых — честность, праведность и любовь к окружающему миру. Если человеческий материал оказывался подходящим, то абитуриента допускали к дальнейшим тестам, продолжавшимся более пяти лет.
Прием в школу проходил в несколько этапов.

Первый этап

    • Пифагор обычно отправлял кандидата обратно, советуя повременить и прийти вновь через три года.

    • Этот внешне очень суровый прием был исполнен глубокого смысла — ведь любой импульс, даже самый прекрасный и чистый, должен пройти испытание временем.

Второй этап

    • В этот период человек еще не считался учеником Школы и назывался акусматиком («слушателем»). Он слушал, впитывал, осознавал — и все что происходило в молчании.

    • Акусматикам Пифагор «предписывал пятилетнее молчание, испытывая их способности воздрживаться, так как молчание — наиболее трудный
      вид воздержания. Для интереса — попробуйте помолчать хотя бы день. А потом поделитесь впечатлениями.».

Третий этап

  • Лишь после долгих трех лет напряженной работы акусматик становился настоящим пифагорейцем.

  • Теперь он носил звание математика — «познающего».

  • На занятиях, которые проводил сам Пифагор или его ближайшие ученики, математикам давалась целостная картина мира, раскрывалось устройство Природы и Человека.

  • Обучение математиков проходило в течение долгого времени, но и оно было только подготовкой.

Четвертый этап

  • Посвятить себя служению людям, обществу, всем, кто нуждается в помощи и защите — естественный шаг для зрелого философа.

  • И когда ученики-математики были готовы к этому, происходил выбор тех направлений и форм, в которых это служение будет осуществляться.

Пятый этап

  • Высшей же ступенью в Пифагорийской школе считалось обучение политиков — людей, способных управлять обществом.

  • Задача — руководить людьми исходя из общего блага, не идя на поводу ни собственных, ни других интересов.

  • Многие ученики пифагора прославились как справедливые законадатели и справедливые хранители законов.

Образ жизни пифагорейцев.

Пифагорейцы вели особый образ жизни, у них имелся свой особый распорядок дня. День пифагорейцам надлежало начинать со стихов:

Прежде, чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил.

Проснувшись, они проделывали мнемонические упражнения, помогающие запоминать нужные сведения, а затем шли на бе-рег моря встречать восход солнца, обдумывали дела предстоя-щего дня, после чего делали гимнастику и завтракали. Вечером совершалось совместное купание, прогулка, ужин, после чего возлияние богам и чтение. Перед сном каждый давал себе отчет о прошедшем дне, заканчивая его стихами:

Не допускай ленивого сна на усталые очи,
Прежде, чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:
Что я сделал? Чего не сделал? Что мне осталось сделать?

Крушение союза

Шло время, пифагорейский союз пришел к политической власти. Но политическая власть предполагает и политических противников. Появилась зависть, обман,недовольство. Однажды во время собрания союза противники подожгли дом,в котором оно проходило. Многие погибли в огне. Пифагору удалось спастись отпреследователей. Оставшись один, он лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения для Пифагора была лишена смысла.

Арифметика пифагорейцев

Арифметика как наука сформировалась в Древней Греции в VI в. до н. э. У ее истоков стоял знаменитый философ и математик Пифагор.

Пифагорейская арифметика отличалась от арифметики практической (последнюю греки относили не к науке, а к ремеслу и называли специальным термином «логистика»). У арифметики и логистики — разные объекты. Первая занималась абстрактными, вторая — именованными числами. Логистику мало интересовали такие общие свойства чисел, как четность или нечетность, простота, разложение на множители и т. д. Для пифагорейской арифметики, наоборот, оказывались интересными именно эти свойства, но она была равнодушна к конкретным способам вычислений.

Пифагорейская арифметика сохраняла тесную связь с арифметикой мифа: числа в ней также получали символическое истолкование. Однако между этими двумя арифметиками было и существенное различие. Пифагор и его ученики считали, что строение мироздания (космоса) и происходящие в нем процессы зависят от свойств чисел и их отношений. Иными словами, число не просто один из элементов мироздания, а его фундамент. Поэтому изучение свойств чисел должно предшествовать изучению природы. Чтобы не упустить свойства, которые могут оказаться важными для описания космоса, пифагорейская арифметика, в отличие от арифметики мифа, интересовалась всеми числами натурального ряда без исключения. Что же касалось символических значений чисел, то ими становились не конкретные представления о пространственно-временном членении (как в мифе), а абстрактные принципы, лежащие в основе мироздания: единое, предел и беспредельное.

Единица у пифагорейцев — символ единого: она недоступна делению на части. Двойка (чет) — символ беспредельного: проходящая через две точки прямая не имеет границ. Тройка (нечет) — символ предела: три точки, не лежащие на одной прямой, определяют треугольник с вершинами в этих точках. Четверка — символ совершенства: четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют пространственное тело с наименьшим числом граней — тетраэдр (треугольную пирамиду). Пифагорейцы считали, что космос возникает из соединения предела и беспредельного под управлением единого, подобно тому как из сочетания тройки (нечет) и двойки (чет) под управлением единицы (единое) появляются числа натурального ряда.

На вопрос о том, как конкретно связаны законы мироздания со свойствами чисел, пифагорейцы отвечали, что миром управляют числовые соотношения, открытые Пифагором в его теории гармонических созвучий. Пифагор заметил, что в основе созвучий лежат следующие соотношения: для октавы — 2:1, для квинты — 3:2, для кварты 4:3 и для двойной октавы — 4:1. При этом указанные соотношения могут относиться к самым разнообразным величинам. Это могут быть соотношения между длинами струн (если речь идет о струнных инструментах), длинами труб (для духовых инструментов) или массами пластинок (для ударных инструментов). Это была по существу первая математическая теория, описывающая физические (акустические) явления. Точное доказательство справедливости гипотезы Пифагора было получено лишь в XIX в.

Почему же мир основывается на музыкальных созвучиях? Пифагорейцы считали, что мир управляется небесными телами, которые являются духовными сущностями — богами. Когда небесные тела несутся с огромной скоростью по небосводу, их движение рождает божественную музыку, подобием которой является музыка земная. Человеческое ухо не слышит божественной музыки, но разум может составить о ней представление, исследуя лежащие в ее основе числовые соотношения. Эти соотношения являются общими и для человеческой, и для божественной музыки. Но если речь идет о законах движения небесных тел, то астрономия, как и музыка, также основывается на соотношениях между числами. Отсюда родился знаменитый пифагорейский тезис: «Всё есть число». Мысль о том, что законы природы написаны на языке математики, сыграла важную роль в развитии астрономии Нового времени. Особое влияние она оказала на научное творчество Галилео Галилея (1564—1642) и Иоганна Кеплера (1571 — 1630).

Наиболее древним разделом пифагорейского учения была теория четных и нечетных чисел, впоследствии изложенная в IX книге «Начал» Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Благодаря использованию основных положений этой теории был получен один из важнейших результатов пифагорейской арифметики — доказана несоизмеримость стороны и диагонали квадрата (см. далее). Теория числовых отношений и делимости чисел имеет более позднее происхождение (она изложена в VII книге «Начал»). Одним из достижений теории делимости является разработка метода нахождения наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида) и наименьшего общего кратного двух чисел.

Среди всех чисел пифагорейцы особо выделяли простые («первые»), которые они определяли как числа, «измеряемые только единицей». Простым числам они противопоставляли составные, «измеряемые некоторым числом». Античные математики уделяли большое внимание учению о простых числах. Ими были доказаны (эти доказательства приведены в IX книге «Начал») такие важные теоремы арифметики, как утверждения о бесконечности простых чисел и единственности разложения числа на простые множители. Древние греки были также знакомы с методом последовательного выделения простых чисел из числового ряда, который в настоящее время называется решетом Эратосфена (Эратосфен — греческий математик, живший в Александрии).

Пифагорейцам принадлежит приоритет в исследовании свойств совершенных и дружественных чисел. Например, они доказали, что всякое число вида (), где () — простое, является совершенным числом (Совершенное число – натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого числа. Дружественные числа — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу). Спустя много веков Рене Декарт (1596—1650) и Леонард Эйлер (1707—1783) доказали, что не существует других четных совершенных чисел, кроме тех, которые содержатся в этой формуле. До сих пор неизвестно, является ли конечным или бесконечным множество четных совершенных чисел, а также существуют ли нечетные совершенные числа.

Геометрическое представление чисел

Древние греки имели обыкновение облекать абстрактные идеи в конкретные образы. В частности, натуральные числа они представляли в виде геометрических тел, составленных из счетных камешков. При таком представлении наглядными становились и арифметические операции. Например, если числа т и п представить как отрезки, составленные из камешков, то их произведение т х п окажется прямоугольником со сторонами т и п (рис.1).

Произведение же трех сомножителей, составленных из камешков, является прямоугольным параллелепипедом.

Пифагорейцы проявляли большой интерес к фигурным числам, получившим свое название от соответствующих геометрических конфигураций. Примерами фигурных чисел служат многоугольные числа, например:

треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. (рис. 2);

квадратные числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. (рис. 3);

пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35 и т. д.

Вообще, k -угольным числом, где k — натуральное, называется число вида

Действительно, нетрудно установить, что при k=3 получаются треугольные числа вида , при k=4 – квадратные числа , при k=5 – пятиугольные числа .

Для того чтобы получить многоугольные числа, нужно просуммировать члены арифметической прогрессии. Если арифметическая прогрессия начинается с 1 и ее разность равна 1, то при суммировании получаются треугольные числа. Если прогрессия начинается с 1, а ее разность равна 2, то получаются квадратные числа. Если же, начинаясь с 1, прогрессия имеет разность 3, то получаются пятиугольные числа и т. д.

Способ построения квадратных чисел позволяет еще раз убедиться в справедливости пифагорейского тезиса о том, что нечетное число есть символ предела или определенности формы. Действительно, как видно на рисунке 33, каждое квадратное число получается из предшествующего прибавлением нечетного числа. Иными словами, прибавление нечетного числа сохраняет квадратную форму фигуры:

1 = 1;

1 + 3 = 4 = 22;

1 + 3 + 5 = 9 — З2;

1 + 3 + 5 + 7= 16 = 42;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52;

………………………………

1 + 3 + 5 + 7 + … + () = (1)

Однако ряд, составленный из четных чисел, таким свойством не обладает. Прибавление четного числа приводит к серии продолговатых чисел (рис. 4) вида п(п + 1) = п2 + п, форма которых

постоянно меняется (стремится к форме квадрата при увеличении п):

2 = 2;

2 + 4 = 6 = 2 • 3;

2 + 4 + 6 = 12 = 3 • 4;

2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4- 5;

……………………………

2 + 4 + 6 + 8 + … + 2п = п(п+1) (2)

Представление чисел в виде геометрических конфигураций дает возможность получать наглядные доказательства арифметических тождеств, например,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + п = (3)

+ + + + + … + = (4)

+ + + + + … + = (5)

Доказательство формулы (3). Как видно из рисунка 2, каждое треугольное число — это половина соответствующего продолговатого числа п(п + 1). С другой стороны, треугольное число есть сумма последовательных натуральных чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … +п. Сопоставляя эти два факта, получаем формулу (3).

Доказательство формулы (4). Оно получается несколько сложнее. Сначала покажем, что

12 + 22 + З2 + 42 + … + п2 = (1 + 2 п)(1 + 2 + 3 + 4 + … + п) (6)

Для доказательства формулы (6) рассмотрим большой прямоугольник, который состоит из (1 + 2 п)(1 + 2 + 3 + 4 + … + п) камешков. Одна треть всех камешков — белые. Остальные две трети, каждая из которых состоит из серии квадратных чисел 12 , 22 , З2 , 42 , … , п2 — черные.

Изображенная на рисунке 5 фигура соответствует конкретному значению п = 4 (с помощью аналогичной фигуры доказательство можно обобщить на случай любого п).

Рассмотрим серию черных «квадратов», расположенных в верхней части. Разложим эти квадраты на составляющие их фигурки (пифагорейцы называли их «гномонами»), которые соединим линиями. Легко заметить, что число соединенных линиями черных камешков соответствует числу белых камешков в некотором столбце прямоугольника. Так, в верхней половине прямоугольника находятся четыре фигурки, состоящие из одного камешка, три фигурки, состоящие из трех камешков, две — из пяти камешков и одна — из семи камешков. Это означает, что сумма п последовательных квадратных чисел составляет одну треть числа камешков, из которых состоит большой прямоугольник. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться формулой (3).

Доказательство формулы (5). Будем рассуждать так. Заметим, что куб каждого числа можно представить в виде суммы нечетных чисел следующим образом:

1 = 1, 8 = 3 + 5, 27 = 7 + 9 + 11,

64= 13 + 15 + 17+ 19, … .

Отсюда, используя формулу (1), находим

13 + 23 + З3 + 43 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 =

= (1 + 2 + 3 + 4)2.

Обобщая приведенное рассуждение на любое п, получаем формулу (5).

Кроме «Начал» Евклида, пифагорейская теория чисел была изложена в трактате «Введение в арифметику» греческого математика Никомаха из Геразы (I—II в. н. э.). По латинскому переводу этого трактата, принадлежащему Боэцию (ок. 480—524), пифагорейскую математику в средние века изучали в Западной Европе. Сохранилось более 150 рукописей этого трактата, что свидетельствует о его большой популярности.

Теория отношений целых чисел

Поскольку в математике пифагорейцев единица (как символ единого) считалась неделимой, в ней отсутствовало представление о дробном числе. Вместо дробей греки говорили об отношениях целых чисел.

В настоящее время понятия числа и отношения не различаются; оба они относятся к категории количества. Однако для греков дело обстояло иначе. Например, число 5 считалось отличным от отношения 5:1, так как первое относилось к категории количества, а второе — к категории отношения. Смешивать эти категории было нельзя. Следствием запрета на смешение объектов разных категорий явилось то, что между ними нельзя было поставить знак равенства, т. е. приравнять 5 к 5:1. Различие между числами и отношениями проявлялось также в том, что для отношений, в отличие от чисел, греки не вводили операций сложения и вычитания (подобно тому как это делают в современной арифметике дробей).

Как же строилась тогда теория отношений? Прежде всего вводилось равенство двух отношений (пропорция) — в символической записи А:В = C:D, которое определялось следующим образом.

Говорят, что две пары натуральных чисел А, В и С, D образуют пропорцию, если имеет место одна из трех возможностей:

1) либо А = тВ и С = mD, где т — некоторое натуральное число;

2) либо тА = В и тС = D;

3) либо существуют такие натуральные числа L и М, что одновременно А = mL, В = nL,C = тМ, D = nМ, где m, п — натуральные числа.

Из определения видно, что в основу равенства отношений положено понятие общего делителя, или, как выражались греки, общей меры чисел.

Основной операцией была операция составления отношений, которая позволяла, зная отношения А:В и В:С, построить новое отношение А:С. Нетрудно заметить, что формально операция составления отношения совпадает с произведением дробей в современной арифметике. Различие заключается в том, что для составления отношения сначала было нужно два исходных отношения привести к такому виду, чтобы второй член первого совпадал с первым членом второго. Только после этого можно было записать составное отношение. Для отношений вводились также операции возведения в степень и извлечения корня, которые определялись через операцию составления отношений.

Пифагорейцы уделяли много внимания учению о пропорциях. Именно они с целью изучения музыкальных созвучий ввели в математику три важнейшие пропорции: арифметическую, геометрическую и гармоническую. Так, Пифагор установил, что в унисон со струной длиной 12l звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 9l (выше на квинту и кварту). При этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 — их среднее гармоническое. Действительно, число 8 является средним гармоническим пропорции, т. е. удовлетворяет соотношению

Путь от понятия отношения к понятию дроби (т. е. о рационального числа) был долгим и трудным. В Европе с отношениями как с числами начинают производить операции в средние века. Сначала Боэций, а вслед за ним Кампан Новарский (XIII в.), Иордан Неморарий (ок. 1220), Томас Брадвардин (ок. 1290— 1349) и Никола Орем (1323—1382) перестают различать числа и их отношения при проведении арифметических операций. Однако окончательное сведение чисел к отношениям произошло лишь в XVII в. в работах Исаака Ньютона (1643—1727). Ему принадлежит знаменитое определение, в котором указана принципиальная разница между пифагорейским и современным пониманием числа. «Под числом, — писал Ньютон, — разумеют не собрание многих единиц, а скорее абстрактное отношение одного количества к другому того же рода, которое рассматривается как единица».

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата

Еще в античности пифагорейскому тезису «Всё есть число» был нанесен сокрушительный удар. Это произошло вследствие открытия несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. Два отрезка называют соизмеримыми, если существует такой третий отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. Если два отрезка соизмеримы, то отношение их длин выражается в виде отношения двух натуральных чисел. Соответственно, два отрезка несоизмеримы, если отношение их величин не выражается в виде отношения чисел. Поскольку пифагорейцы считали, что все в мире подчиняется соотношениям между числами, у них не возникало никакого сомнения в том, что все геометрические величины являются соизмеримыми.

Однако это оказалось не так. В «Началах» Евклида приведена следующая теорема о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Рассмотрим квадрат. Предположим, что отношение его диагонали к стороне можно выразить в виде m:п , где m, п — натуральные взаимно простые числа (иными словами, это отношение — несократимая дробь). Как известно, к такому виду можно привести любое отношение, сократив общие множители числителя и знаменателя. Так как дробь несократима, то одно из чисел m, п обязательно является четным, а другое — нечетным. Согласно теореме Пифагора имеем т2 : п2 = 2, или, что то же самое, 2п2 = т2 (1).

Из равенства (1) следует, что т2 — четное число, а это возможно только если т является четным. Поскольку число m — четное, оно представимо в виде m = 2р, где р — некоторое натуральное число. Подставив выражение т2 = 4р2 в формулу (1), получим равенство 2п2 = 4р2 , из которого следует п2= 2р2 , т. е. число п2 — четное. Тогда и число п также является четным. Но по условию дробь т:п несократима; значит, числа т и п не могут быть одновременно четными. Полученное противоречие доказывает несоизмеримость диагонали и стороны квадрата. На алгебраическом

языке это означает иррациональность числа .

Впрочем, некоторые исследователи считают, что первый пример несоизмеримых отрезков был получен при изучении отношения, содержащего величину и связанного с построением золотого сечения (см. далее). Как бы то ни было, открытие несоизмеримости величин показало, что мир геометрических форм и их соотношений богаче мира натуральных чисел. Это обстоятельство в конечном итоге подорвало доверие к пифагорейской арифметике как к главной математической науке и способствовало пробуждению интереса к геометрии. Именно в геометрии и были тщательно исследованы несоизмеримые величины: их изучению посвящена X книга «Начал» Евклида.

Золотое сечение

Важное значение в истории мировой культуры играет число, выражающее отношение двух частей отрезка, разделенного золотым сечением. Золотым сечением называется деление отрезка а на две неравные части таким образом, чтобы большая из них была средней пропорциональной между меньшей частью и всем отрезком. Если перевести эту задачу на современный алгебраический язык, то она сводится к решению уравнения

а:х = х:(а — х), т. е. х2 + ах – а2 = 0, (1)

где а — длина всего отрезка, а х — длина его большей части (рис. 6)

Решив уравнение (1), получаем . Затем находим , а также отношение а : х = ; этой же величине равно и отношение х:(а — х). Итак, число φ = выражает отношение двух частей отрезка, разделенного золотым сечением.

Древние греки хорошо знали золотое сечение и часто использовали его в искусстве и архитектуре. Особое значение имело золотое сечение для пифагорейцев. Дело в том, что эмблемой их тайного братства был правильный пятиугольник, в котором каждый отрезок разделен золотым сечением по отношению к соседнему меньшему (рис. 7):

. (2)

Дуга СВ = 72°; треугольник АСВ подобен треугольнику CDB, следовательно, , но СВ = CD =AD и DB = АВ — AD. Подставляя эти выражения, получаем отношение (2).

Число φ тесно связано с рядом Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Ряд (правильнее — последовательность) Фибоначчи определяется с помощью рекуррентной формулы: каждый последующий его член (кроме первых двух) равен сумме двух предыдущих:

.

По мере возрастания ряда Фибоначчи отношение двух последовательных его членов стремится к величине φ. Иначе говоря,

.

Ряд Фибоначчи впервые появился на страницах «Книги абака» (1202) Леонардо Пизанского (1180 — после 1240) по прозвищу Фибоначчи (т. е. сын

Боначчи).

Афоризмы Пифагора.

  • Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне. Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.

  • Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.

  • Неразумные при выпивании вина доходят до опьянения, а при несчастьях — до совершенной потери ума.

  • Полезнее наобум бросить камень, чем пустое слово.

  • Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.

  • Благоразумная супруга! Если желаешь, чтобы муж твой свободное время проводил подле тебя, то постарайся, чтоб он ни в каком ином месте не находил столько приятности, удовольствия, скромности и нежности.

  • Делай великое, не обещая великого.

  • Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные — торговать, а самые счастливые — смотреть.

Список использованной литературы:

  1. Большая советская энциклопедия. В 30 тт.

  2. Энциклопедический словарь. Брокгауз Ф.А., Ефрон И.А. В 86 тт.

  3. > Интернет-ресурс Matemat.me. Помощь учащимся в закреплении наук постигаемых http://matemat.me/2013/01/школа-пифагора/
  4. > Википедия, свободная энциклопедия https://ru.wikipedia.org/wiki
  5. А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. Дополнительные материалы к уроку математики. Избранные темы школьного курса. Исторические очерки. 5-11 классы. М.:Дрофа, 2002. – 224 с.

Пифагор. Имя Пифагор означает убеждающий речью. Он родился в 556 г. до н.э- на острове Самос. В 18 лет покинул родину и до 56 лет провел время в странствиях (Египет, Вавилон), где получил свое образование. Затем вернулся на Самос, но после установления там тирании отбыл в Великую Грецию в города Сибарис и Кротон. Там Пифагор создал объединение, названное Пифагорейским союзом, которое в лучшие свои годы насчитывало до 300 человек и представляло собой значительную политическую силу.

Говорят, что Пифагор первый стал называть себя философом, придумав новое слово. Жизнь подобна играм или олимпийским состязаниям, в которых участвуют разные люди. Одни приходят туда, чтобы состязаться: ими владеет желание власти, начальствования и честолюбия. Другие приходят, чтобы торговать: их привлекает роскошь и деньги. Самый бескорыстный нрав у того человека, который, занимаясь созерцанием прекрасного, называется философом. Прекрасно зрелище всего небосвода и движущихся по нему светил для тех, кто способен усмотреть порядок в этом движении. Поскольку светила причастны к первосущему и умопостигаемому, такой порядок существует. Первосущей является природа чисел и слов, принизывающая все, объединяющая все части космоса Мудрость есть знание прекрасного, первосущего, божественного и несмешанного, самотождественного. Прикосновение такой божественной природы все делает прекрасным Философия — это ревностное стремление к созерцанию всего этого.

Прекрасна и забота о воспитании, цель которого — исправление людей. Пифагор придерживался аристократической концепции образования. Нужно изменить себя, чтобы быть причастным мудрости.

Пифагорейский союз делился на две неравные части, первую из которых составляли акусматики, или отвечающие. До того, как вступить в основную часть союза, они проходили строгую проверку в течение трех лет. Далее пять лет ученики Пифагора проводили в молчании, внимая ему, но не имея права видеть. После этого их допускали в жилище Пифагора. В общине царил строгий и абсолютный авторитет учителя. Неисполнение принятых правил каралось изгнанием.

Когда пифагорейцы хотели подчеркнуть истинность своих слов, то говорили: «Сам сказал» (т.е. Пифагор). Поэтому вошло в традицию приписывать Пифагору и свои собственные научные открытия. Учение пифагорейцев не записывалось. Только после первой волны их эмиграции (около 450 г. до н.э.), Филолай из Фив изложил доктрину письменно. В античности было несколько типов сообществ. Наиболее поздние среди них:

• с х о л е — философская школа, возникшая в IV в. до н.э. Их появление связано с именами Платона (Академия) и Аристотеля (Ликен);

• т и а с о с (или о р г е о н , отсюда орден) — религиозно-культовое сообщество, по­священное богу или музам. Управление находилось в руках разнообразных категории магистров, сменявшихся через год. Культ отправляли специальные жрецы и жрицы. Законами или постановлениями закреплялась дисциплина, поддерживаемая системой штрафов;

• э т е р и я (братство) — тип неформального объединения, которое строилось на основе личных отношений его участников, как правило, сверстников из аристократической среды. Их связывали общность интересов и образа жизни. Это объединение носило со­циально-политический характер.

Пифагорейский союз носил черты как ордена, так и братства.

По утверждению древнегреческих исследователей (Евдем), Пифагор противопоставил геометрию как практическое искусство философии геометрии. Он освободил геометрию от прикладного характера и утвердил в качестве теоретической дисциплины. Эта наука должна исходить не из опыта, а чисто дедуктивным образом из общих первоначал, т.е. умозрительно и незаинтересованно.

Пифагору приписываются изречения «Все есть число», «Элементы чисел являются элементами всего сущего». Сначала эти числа вообще не отличались от вещей и сохраняли чисто вещественную и телесную природу. Но затем их стали отличать от вещей, отче­го значимость чисел стала выступать еще более актуально. Если говорить упрощенно, то Пифагора поразил тот факт, что| предметы возникают и исчезают, а числа одни и те же, они существуют всегда. В связи с этим число представляет собой нечто идеальное, прообраз всего существующего и основу космоса. По точному определению Евклида, единица есть то, через что каждое из существующего считается единым. В мире все текуче и из­менчиво, но вещи все же единичны, т.е. единица придает определенность вещам, выступает законом их существования С философской точки зрения, единица у пифагорейцев — это принцип устойчивости мира, его самотождественности, двойка — принцип изменчивсти мира, его беспредельности, множественности, неопределенности. Единица является также и мужским числом, т.к. оформляет мир, служит его формой. А двойка — это женское число.

Числовая теория родилась у пифагорейцев на почве религии Диониса, которая состояла из сверхличных экстазов. Они воспроизводили внеличностную жизнь живой природы. Поэтому число стало рассматриваться как бескачественная структура.

Была вскрыта диалектическая сущность числа как совпадение противоположностей предела и беспредельного. Число возникло в результате вычерчивания той или иной фигуры на беспредельном фоне. Такая трактовка свидетельствовала о на­глядно-структурном понимании числа.

Филолай был первым пифагорейцем, кто указал на гносеологическую значимость числа. Было установлено, что без счета вообще невозможно отличить одной вещи от дру­гой, а в пределах одной вещи без счета нельзя различить ее частей. Поэтому без числя невозможно никакое познание. То, что не ограничено по величине или форме, не может быть познано.

Число стали также представлять в качестве активно действующей структуры. Ему приписывалась созидательная роль в мироздании, т. к. без числа ничто не может возникнуть в раздельном виде. Отсюда вытекал такой познавательный принцип: «Подобное познается подобным». Если все есть число, то оно и познаваемо с помощью чисел, т.е. познаваемое и познающее принципиально тождественны.

Следующая черта пифагорейской философии и математики — геометрическое истолкование числя. Оно связано с главной интуицией античного мышления — с интуицией ярко сформированного, вполне очерченного материального тела. Пифагорейцы отождест­вляли числа с совокупностями точек, наподобие звезд, составляющих созвездия. Поэтому всякое число имеет свою фигуру. Например, такие числа, как 3=1+2 , 6=1+2+3=1х2х3 Δ, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 Δ назывались треугольными. Сумма двух треугольных чисел есть квадратное число: 1+3=4 □, 3+6=9 □. Квадратные числа растут гномонически. От одного квадратного числа к другому можно перейти, прибавив к первому гномон — угол. Гномон — это такая геометриче­ская фигура, прибавление которой к другой геометрической фигуре увеличивает ее, не изменяя формы.

Иррациональные числа были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить с помощью целых чисел. Это открытие нанесло удар по пифагорейской концепции Единого и вызвало первый кризис в истории математики. Оно означало то, что в основе мира не лежит единица.

Филолай утверждал, что число есть принцип гармонии. Она возникает из противоположностей. Гармония является соединением разнообразной смеси, или согласием разногласного, как в музыке, которая есть гармоническое соединение противоположно­стей, приведенное к единству многого. Число есть душа гармонии, но и сама душа тоже есть гармония. Числовая гармония создает космос с небесными сферами, которые распо­ложены симметрично, и каждая настроена в определенном музыкальном тоне. Души и все вещи тоже содержат в себе количественно-гармоническую структуру. В результате возникает музыкальный и числовой космос, из чего следует, что космос издает музыку. Акосмия — музыка погибели.

По мнению Филолая, ложь и зависть присущи природе беспредельного, бессмысленного и неразумного. Ложь же никоим образом не входит в число. Она враждебна и противна его природе. Истина же родственна числу и неразрывно связана с ним с самого начала.

Пифагорейский союз потерпел поражение, и диаспора пифагорейцев распространилась в дальнейшем по стране. Но значение пифагорейского мировоззрения для античности велико Оно сохранило свое влияние и в средние века. В частности, это проявилось в образовательной концепции квадривиума дисциплин: арифметика, геометрия, музыка и астрономия-

Античная философия

Предфилософская традиция (VIII—VII вв. до н. э.)

Акусилай · Гомер · Гесиод · Лин · Мусей · Орфей · Ферекид · Эпименид

Натурфилософия
(VII—V вв. до н. э.) Милетская школа: (Фалес · Анаксимандр · Анаксимен) Пифагорейцы: (Пифагор · Алкмеон Кротонский · Архит · Тимей Локрский · Филолай) Элеаты: (Ксенофан · Парменид · Зенон Элейский · Мелисс) Школа Гераклита (Гераклит · Кратил) Школа Анаксагора (Анаксагор · Архелай · Метродор Лампсакский) Атомисты (Левкипп · Демокрит · Метродор Хиосский)

Вне школ (Эмпедокл · Диоген Аполлонийский)

Софисты
(V—IV вв. до н. э.) Старшие софисты (Протагор · Горгий · Тисий · Антифон Афинский · Продик · Гиппий Элидский · Ксениад)

Младшие софисты (Фрасимах · Калликл · Критий · Ликофрон · Алкидам

Классический период
(V—IV вв. до н. э.) Платоники (Платон · Спевсипп · Ксенократ из Халкидона · Полемон · Крантор · Кратет Афинский · Клеарх) Мегарская школа (Евклид из Мегары · Стильпон · Диодор Крон · Евбулид · Клиномах) Киники (Антисфен · Диоген Синопский) Киренаики · (Аристипп · Арета Киренская · Аристипп, сын Ареты · Феодор-Атеист · Гегесий · Аникерид · Эвгемер) Элидо-Эретрийская школа · (Федон из Элиды · Плистен из Элиды · Менедем) Другие сократики (Главкон из Афин · Кебет · Критон · Симмий · Симон-кожевник · Эсхин)

Перипатетики (Аристотель · Теофраст · Эвдем Родосский · Стратон · Аристоксен · Дикеарх · Клеарх)

Эллинистическая философия
(IV в. до н. э. — V в. н. э.) Стоики (Зенон Китийский · Посидоний · Сенека · Марк Аврелий · Публий Клодий Тразея Пет) Эпикурейцы (Эпикур · Тит Лукреций Кар) п • о • р

Пифагореи́зм — религиозно-философское учение, возникшее в Древней Греции VI—IV вв. до н. э. (также известно как пифагорейство). Получило название по имени своего родоначальника Пифагора.

Среди своих последователей он сам выделял особую группу пифагорейцев (настоящих последователей), других же называл пифагористами — которые проявляют внешнее рвение.

В перечне 80-ти христианских ересей «Панарионе» (ок. 378 года) пифагорейцы на седьмом месте.

История пифагорейского союза

Основателем союза был Пифагор, сын Мнесарха, уроженец ионийского острова Самоса (поэтому генезис пифагореизма относят к ионийскому культурно-географическому ареалу.) Его расцвет приходится на время правления тирана Поликрата (ок. 530 г. до н. э.). Пифагор основал сообщество в италийском городе Кротоне. Умер он в Метапонте, куда переселился вследствие враждебного отношения кротонцев к его союзу.

После смерти Пифагора вражда против пифагорейского союза усиливалась во всех демократиях Великой Греции, и в середине V в. до н. э. разразилась катастрофой: в Кротоне многие пифагорейцы были убиты и сожжены в доме, где они собрались; разгром повторился и в других местах. Уцелевшие были вынуждены бежать, разнося с собой учение и мистерии своего союза. Эти мистерии дали союзу возможность существовать и тогда, когда он утратил своё прежнее политическое и философское значение. К концу V в. до н. э. политическое влияние пифагорейцев в Великой Греции возродилось: важнейшей фигурой стал Архит Тарентский, военачальник и государственный деятель. С IV в. до н. э. пифагорейство пришло в упадок, а его учение было поглощено платонизмом.

Сам Пифагор, по преданию, не оставил письменного изложения своего учения (оно носило строго эзотерический характер), и Филолай считается первым писателем, давшим изложение пифагорейской доктрины. При этом у пифагорейцев существовала традиция возводить все достижения школы к её основоположнику. Учение ранних пифагорейцев известно нам по свидетельствам Платона и Аристотеля, а также по немногим фрагментам Филолая, которые признаются подлинными. При таких условиях трудно с достоверностью отделить первоначальное существо пифагорейского учения от позднейших наслоений.

Пифагорейский союз как религиозная община

Фёдор Бронников. Гимн пифагорейцев солнцу

Основой учения Пифагора стал орфизм.

Есть основание видеть в Пифагоре учредителя мистического союза, научившего своих последователей новым очистительным обрядам. Эти обряды были связаны с учением о переселении душ, которое можно приписывать Пифагору на основании свидетельств Геродота и Ксенофана; оно встречается также у Парменида, Эмпедокла и Пиндара, находившихся под влиянием пифагорейства.

Ряд предписаний и запретов пифагорейцев восходят к глубокой древности. Из этих запретов более всего стал известен запрет употреблять в пищу бобы, из-за которых, по одному из преданий, погиб и сам Пифагор. Причина этого запрета неизвестна, историки высказывали самые разные предположения о причинах такого табу. Например, философ Елена Шульга объясняет это тем, что боб, напоминая человеческий зародыш, ассоциируется с первородностью.

Пифагорейцы практиковали вегетарианство по религиозным, этическим и аскетическим причинам, в частности, в связи с учением о переселении душ. Вслед за орфиками пифагорейцы считали, что душа каждого человека двупола и в ней есть мужская и женская половины, которые зовутся Эротом и Психеей.

Согласно традиции, последователи Пифагора делились на акусматиков (англ.)русск. («слушателей») и математиков («учеников»). Акусматики имели дело с религиозными и ритуальными сторонами учения, математики — с исследованиями четырёх пифагорейских «матем»: арифметики, геометрии, гармоники и сферики. Акусматики не считали математиков «настоящими пифагорейцами», но говорили, что они ведут своё начало от Гиппаса, изменившего исходной пифагорейской традиции, раскрывшего тайны непосвящённым и начавшим преподавание за плату.

Философия пифагорейцев

Пифагор был первым мыслителем, который по преданию назвал себя философом, то есть «любителем мудрости». Он же впервые назвал вселенную космосом, то есть «прекрасным порядком». Предметом его учения был мир как стройное целое, подчиненное законам гармонии и числа.

Именно принцип справедливости следует рассматривать как важное (цементирующее) концептуальное положение в формировании философии данной школы. Вершиной развития философии является созерцательный ум; серединой философии — гражданский ум и третьим — ум, связанный с таинствами. Развитием этих начал в человеке завершается пифагорейское обучение.

Основу последующего философского учения пифагорейцев составила категориальная пара двух противоположностей — предела и беспредельного. «Беспредельное» не может быть единым началом вещей; иначе ничто определённое, никакой «предел» не был бы мыслим. С другой стороны, и «предел» предполагает нечто такое, что определяется им. Отсюда следует вывод Филолая, что «природа, сущая в космосе, гармонически слажена из беспредельных и определяющих; так устроен и весь космос, и все, что в нём».

Пифагорейцами была составлена таблица 10 противоположностей; Аристотель приводит её в своей «Метафизике» (I, 5):

Пифагор Самосский (римская копия)

  • предел — беспредельное
  • нечётное — чётное
  • одно (единое) — множество
  • правое — левое
  • мужское — женское
  • покой — движение
  • прямое — кривое
  • свет — тьма
  • добро — зло
  • квадрат — вытянутый прямоугольник (продолговатая форма)

Мировая гармония, в которой заключается закон мироздания, есть единство во множестве и множество в единстве — ἓν καὶ πολλά. Как мыслить эту истину? Непосредственным ответом на это является число: в нём объединяется множество, оно есть начало всякой меры. Опыты над монохордом показывают, что число есть принцип звуковой гармонии, которая определяется математическими законами. Не есть ли звуковая гармония частный случай всеобщей гармонии, как бы её музыкальное выражение? Астрономические наблюдения показывают нам, что небесные явления, с которыми связаны все главнейшие изменения земной жизни, наступают с математической правильностью, повторяясь в точно определённые циклы.

Так называемые пифагорейцы, взявшись за математические науки, первые подвинули их вперёд; вскормленные на этих науках, они признали математические начала за начала всего существующего. Из таких начал, естественно, первыми являются числа. В числах усматривали они множество аналогий или подобий с вещами… так что одно свойство чисел являлось им как справедливость, другое — как душа или разум, ещё другое — как благоприятный случай и т. д. Далее они находили в числах свойства и отношения музыкальной гармонии, и так как все прочие вещи по своей природе являлись им подобием чисел, числа же — первыми из всей природы, то они и признали, что элементы числа суть элементы всего сущего, и что все небо есть гармония и число (Аристотель, Met., I, 5).

Таким образом, пифагорейские числа имеют не простое количественное значение: если для нас число есть определённая сумма единиц, то для пифагорейцев оно есть, скорее, та сила, которая суммирует данные единицы в определённое целое и сообщает ему определённые свойства. Единица есть причина единения, два — причина раздвоения, разделения, четыре — корень и источник всего числа (1 + 2 + 3 + 4 = 10). В основании учения о числе усматривалась, по-видимому, коренная противоположность чётного и нечётного: чётные числа суть кратные двух, и потому «чёт» есть начало делимости, раздвоения, разлада; «нечёт» знаменует противоположные свойства. Отсюда понятно, что числа могут обладать и нравственными силами: 4 и 7, например, как средние пропорциональные между 1 и 10, являются числами, или началами, пропорциональности, а следовательно, и гармонии, здоровья, разумности.

Пифагорейская космология и астрономия

В космологии пифагорейцев мы встречаемся с теми же двумя основными началами предела и беспредельности. Мир есть ограниченная сфера, носящаяся в беспредельности. «Первоначальное единство, возникнув неведомо из чего, — говорит Аристотель, — втягивает в себя ближайшие части беспредельности, ограничивая их силой предела. Вдыхая в себя части беспредельного, единое образует в себе самом определённое пустое место или определённые промежутки, раздробляющие первоначальное единство на отдельные части — протяженные единицы (ὡς όντος χωρισμοϋ τινος τών ἐφεξής)». Это воззрение — несомненно первоначальное, так как уже Парменид и Зенон полемизируют против него. Вдыхая беспредельную пустоту, центральное единство рождает из себя ряд небесных сфер и приводит их в движение. Учение о том, что мир вдыхает в себя воздух (или пустоту), а также кое-что из учения о небесных светилах пифагорейцы усвоили у Анаксимена. По Филолаю, «мир един и начал образовываться от центра».

В центре мира находится огонь, отделяемый рядом пустых интервалов и промежуточных сфер от крайней сферы, объёмлющей вселенную и состоящей из того же огня. Центральный огонь, очаг вселенной, есть Гестия, мать богов, мать вселенной и связь мира; верхняя часть мира между звездной твердью и периферическим огнём называется Олимпом; под ним идёт космос планет, солнца и луны. Вокруг центра «ведут хороводы 10 божественных тел: небо неподвижных звёзд, пять планет, за ними Солнце, под Солнцем — Луна, под Луной — Земля, а под нею — противоземие (ἀντίχθων)» — особая десятая планета, которую пифагорейцы принимали для круглого счёта, а может быть, и для объяснения солнечных затмений. Медленнее всех вращается сфера неподвижных звезд; более быстро и с постоянно возрастающей по мере приближения к центру скоростью — сферы Сатурна, Юпитера, Марса, Венеры и Меркурия.

Планеты вращаются вокруг центрального огня, обращенные к нему всегда одной и той же стороной, отчего жители земли, например, не видят центрального огня. Наше полушарие воспринимает свет и теплоту центрального огня через посредство солнечного диска, который лишь отражает его лучи, не будучи самостоятельным источником тепла и света.

Своеобразно пифагорейское учение о гармонии сфер: прозрачные сферы, к которым прикреплены планеты, разделяются между собой промежутками, которые относятся друг к другу как музыкальные интервалы; небесные тела звучат в своём движении, и если мы не различаем их созвучия, то только потому, что оно слышится непрестанно.

Пифагорейская геометрия

Из геометрических работ пифагорейцев на первом месте стоит знаменитая теорема Пифагора. Доказательство теоремы должно было явиться результатом потребовавших значительного промежутка времени работ как самого Пифагора, так и других математиков его школы. Член ряда нечётных чисел, всегда являющийся разностью между двумя соответствующими членами ряда квадратных чисел, мог быть сам числом квадратным: 9 = 25 — 16, 25 = 169—144, … Содержание пифагоровой теоремы было, таким образом, впервые обнаружено рациональными прямоугольными треугольниками с катетом, выражаемым нечётным числом. Вместе с тем должен был раскрыться и Пифагоров способ образования этих треугольников, или их формула (n — нечетное число, выражающее меньший катет; (n² — 1)/2 — больший катет; (n² — 1)/2 + 1 — гипотенуза).

Вопрос о подобном свойстве также и других прямоугольных треугольников требовал соизмерения их сторон. При этом пифагорейцам впервые пришлось встретиться с несоизмеримыми линиями. До нас не дошло никаких указаний ни на первоначальное общее доказательство, ни на путь, которым оно было найдено. По свидетельству Прокла, это первоначальное доказательство было труднее находящегося в «Началах» Евклида и также основывалось на сравнении площадей.

Пифагорейцы занимались задачами «приложения» (παραβάλλειν) площадей, то есть построения на данном отрезке прямоугольника (в общем случае — параллелограмма с данным углом при вершине), имеющего данную площадь. Ближайшее развитие этого вопроса состояло в построении на данном отрезке прямой прямоугольника, имеющего данную площадь, под условием, чтобы оставался (ἔλλειψις) или не доставал (ὑπερβολή) квадрат.

Пифагорейцы дали общее доказательство теоремы о равенстве внутренних углов треугольников двум прямым; они были знакомы со свойствами и построением правильных 3-, 4-, 5- и 6-угольников.

В стереометрии предметом занятий пифагорейцев были правильные многогранники. Собственные исследования пифагорейцев прибавили к ним додекаэдр. Занятие способами образования телесных углов многогранников должно было непосредственно привести пифагорейцев к теореме о том, что «плоскость около одной точки наполняется без остатка шестью равносторонними треугольниками, четырьмя квадратами или тремя правильными шестиугольниками, так что становится возможным всякую целую плоскость разложить на фигуры каждого из этих трёх родов».

Пифагорейская гармоника

Пифагор
(деталь «Афинской школы» Рафаэля Санти; 1511).
На чёрной доске изображена схема пифагорейской гармонии — системы, в которой октава двояким образом составляется из квинты и кварты.

Все дошедшие до нашего времени сведения о возникновении в древней Греции математического учения о гармонии (эта наука называлась «гармоникой») определённо связывают это возникновение с именем Пифагора. Его достижения в этой области кратко перечислены в следующем отрывке из Ксенократа, дошедшем до нас через Порфирия:

Пифагор, как говорит Ксенократ, открыл и то, что в музыке интервалы неотрывны от числа, так как они возникают от соотнесения количества с количеством. Он исследовал, в результате чего возникают созвучные и разнозвучные интервалы и всё гармоничное и негармоничное (Порфирий. Комментарий к Гармонике Птолемея)

В области гармоники Пифагором были произведены важные акустические исследования, приведшие к открытию закона, согласно которому первые (то есть самые главные, самые значимые) консонансы определяются простейшими числовыми отношениями 2/1, 3/2, 4/3. Так, половина струны звучит в октаву, 2/3 — в квинту, 3/4 — в кварту с целой струной. «Самая совершенная гармония» задаётся четвёркой взаимно простых чисел 6, 8, 9, 12, где крайние числа образуют между собой октаву, числа, взятые через одно — две квинты, а края с соседями — две кварты.

Гармония есть система трёх созвучий — кварты, квинты и октавы. Численные пропорции этих трёх созвучий находятся в пределах указанных выше четырёх чисел, то есть в пределах единицы, двух, трёх и четырёх. А именно, созвучие кварты является в виде сверхтретного отношения, квинты — полуторного и октавы — двойного. Отсюда число четыре, будучи сверхтретным от трёх, поскольку составляется из трёх и его третьей доли, обнимает созвучие кварты. Число три, будучи полуторным от двух, поскольку содержит два и его половину, выражает созвучие квинты. Число же четыре, будучи двойным в отношении двух, и число два, будучи двойным в отношении единицы, определяют созвучие октавы» (Секст Эмпирик, Против логиков, I, 94-97).

Продолжателями акустических исследований, а также представителями возникшего в пифагорейской школе стремления к теоретическому обоснованию музыкальной гармонии были Гиппас и Евбулид, произведшие много опытов как над струнами, имевшими различные длины и натягиваемыми различными тяжестями, так и над сосудами, по-разному наполняемыми водой.

Пифагорейская концепция гармоники нашла своё воплощение в идее пифагорова (или пифагорейского) строя, настраиваемого лишь по консонансам — октавам и квинтам. Среди прочего пифагорейцы открыли, что (1) целый тон неделим на 2 равных полутона, а также что (2) 6 целых тонов больше октавы на ничтожно малую величину коммы (позже названной «пифагоровой»).

Выдающимися музыкальными теоретиками пифагорейской школы были Филолай и Архит, которые разрабатывали математические основания древнегреческой (музыкальной) гармонии.

> См. также

  • Неопифагореизм
  • Предсуществование
  • Эврит (философ)

Литература

  • Пифагор и пифагорейцы // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Ахутин А. В. Античные начала философии. — СПб.: Наука, 2007.
  • Ахутин А. В. История принципов физического эксперимента от античности до XVII в. — М.: Наука, 1976.
  • Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1959. (Репр.: М.: УРСС, 2007)
  • Герцман Е. В. Пифагорейское музыкознание. Начала древнегреческой науки о музыке. — СПб.: Гуманитарная академия, 2003.
  • Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / Пер. М. Л. Гаспарова. — М.: Мысль, 1986.
  • Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа (ок. 530 — ок. 430 гг. до н. э.). — Л.: Наука, 1990.
  • Жмудь Л. Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. — СПб.: Алетейя, 1994.
  • Лебедев А. В. Западногреческие философские поэмы и гомеровская традиция: преемственность или разрыв? // Индоевропейское языкознание и классическая филология-XV (Чтения памяти проф. И. М. Тронского). Материалы международной конференции. — СПб., 2010. — С. 359–368.
  • Лосев А. Ф. История античной эстетики. — М.: Искусство, 1979. — Т. 5: Ранний эллинизм.
  • Шичалин Ю. А. Статус науки в орфико-пифагорейских кругах // Философско-религиозные истоки науки. — М., 1997. — С. 12-44.
  • Шульга В. Н. Здоровье в контексте философско-исторического анализа // Философия науки. — 2008. — № 13.
  • Щетников А. И. Пифагорейское учение о числе и величине. — Изд-во Новосибирского ун-та, 1997.
  • Щетников А. И. Возникновение теоретической математики и пифагорейская сотериология вспоминания // Математическое образование. — 2005. — № 4(35). — С. 17-28.
  • Щетников А. И. Пифагорейский алгоритм для вычисления сторонних и диагональных чисел и понятие семенного логоса // Историко-математические исследования. — 2005. — № 10(45). — С. 160—173.
  • Щетников А. И. Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита // Пифагорейская гармония: исследования и тексты. — Новосибирск: АНТ, 2005. — С. 25-65.
  • Эберт Т. Сократ как пифагореец и анамнезис в диалоге Платона «Федон». — СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2005.
  • Ямвлих. О пифагоровой жизни / Пер. И. Ю. Мельниковой. — М.: Алетейя, 2002.
  • Янков В. А. Становление доказательства в ранней греческой математике (гипотетическая реконструкция) // Историко-математические исследования. — 1997. — № 2(37). — С. 200—236.
  • Янков В. А. Гиппас и рождение геометрии величин // Историко-математические исследования. — 2000. — № 5(40). — С. 192—222.
  • Янков В. А. Геометрия последователей Гиппаса // Историко-математические исследования. — 2001. — № 6(41). — С. 285—318.
  • Семушкин А. В. Антиномизм мифа и логоса в генезисе философского знания стр. 71-72; на других языках
  • Bowen A.C. The foundations of early Pythagorean harmonic science: Architas, fragment 1. Ancient Philosophy, 2, 1982, p. 79-104.
  • Bowen A.C. Euclid’s Sectio canonis and the history of pythagoreanism. In: Science and philosophy in classical Greece. NY: Garland, 1991, p. 167—187.
  • Burkert W. Weisheit und Wissenschaft: Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Nürnberg, 1962. Английский перевод: Lore and science in ancient pythagoreanism. Cambridge (Mass.): Harvard University Press, 1972.
  • Godwin J. The harmony of the spheres: A sourcebook of the Pythagorean tradition in music. Rochester, Inner Traditions Int., 1993.
  • Heath T.L. A history of Greek mathematics. 2 vols. Oxford: Clarendon Press, 1921. (Repr.: NY: Dover, 1981)
  • Heidel W.A. The Pythagoreans and Greek mathematics. American Journal of Philology, 61, 1940, p. 1-33.
  • Huffman C.A. Philolaus of Croton: pythagorean and presocratic. Cambridge University Press, 1993.
  • Huffman C.A. Archytas of Tarentum: pythagorean, philosopher and mathematician king. Cambridge University Press, 2004.
  • Kahn C. Pythagoras and the Pythagoreans. Indianapolis: Hackett, 2001.
  • Levin F. R. The Harmonics of Nicomachus and the Pythagorean tradition. University Park: American Philological Association, 1975.
  • Long H.S. A study of the doctrine of metempsychosis in Greece from Pythagoras to Plato. Princeton: Princeton University Press, 1948.
  • Martinez A. A. Pythagoras, Bruno, Galileo: The Pagan Heresies of the Copernicans. — CreateSpace Independent Publishing Platform, 2014.
  • O’Meara D.J. Pythagoras revived, mathematics and philosophy in late antiquity. Oxford: Clarendon, 1989.
  • Philip J.A. Pythagoras and early Pythaforeanism. Toronto University Press, 1966.
  • Van der Waerden B.L. Die Pythagoreer: Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft. Zürich, Artemis Verlag, 1979.
  • Vogel C. J. Pythagoras and early pythagoreanism. Assen: Van Gorcum, 1966.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *